integrale valore assoluto
integrale valore assoluto
Mi stavo chiedendo come calcolare $ \int\vert\cos{x}\vert\,dx $
Esiste un'espressione analitica per questo integrale indefinito?
Esiste un'espressione analitica per questo integrale indefinito?
Lunga vita e prosperità
A me non convince... visto che $ |cosx| $ è non negativa, l'integrale dovrebbe essere non decrescente...dimpim ha scritto:(La sparo un po' a caso, spero sia giusta...)
Immagino tu debba distinguere i due casi, cioè quando $ cosx < 0 $ e $ cosx > 0 $.
L'integrale diventerebbe quindi rispettivamente:
$ \displaystyle \int -cosx dx = -senx + c $ e $ \displaystyle \int cosx dx = senx + c $.
Boh...
Secondo me è verosimile, ma mi pare che sia riconducibile alla situazione che ho scritto io.edriv ha scritto:Io avevo pensato a una roba del tipo
$ \int\vert\cos{x}\vert\,dx=\frac{\vert\cos{x}\vert}{\cos{x}}\sin{x}+c $
non so se può essere verosimile...
Cioè:
Se $ cosx > 0 $ allora $ \displaystyle \frac{|cosx|}{cosx} = 1 $. Quindi il risultato dell'integrale è uguale a $ senx + c $; derivando ottieni $ cosx $.
Se invece $ cosx < 0 $ allora $ \displaystyle \frac{|cosx|}{cosx} = -1 $, e il risultato dell'integrale è uguale a $ -senx + c $; derivando: $ -cosx $.
Mi pare di non aver sbagliato. Ovviamente, in caso contrario, fatemi sapere.
Sì, tuvok ha ragione, nel post precedente mi ero sbagliato: quando si ha l'integrale di una derivata, la funzione primitiva è continua e derivabile (con derivata continua) in un intervallo $ I \subset \Re $.
Quindi (ammesso che la primitiva sia $ \frac{|cosx|}{cosx}senx+c $) cosx non può mai essere uguale a 0.
Quindi (ammesso che la primitiva sia $ \frac{|cosx|}{cosx}senx+c $) cosx non può mai essere uguale a 0.
Provate ad immaginare la funzione (con c=0) che abbia derivata |cos(x)|
da 0 a pg mezzi è uguale a sen(x) ovviamente. Poi , da pg/2 a pg anzichè decrescere, sale (poichè la derivata è positiva anziche negativa), in maniera esattamente simmetrica a come sen(x) scende. Poi (anche se oramai ha raggiunto il valore 2) "sale" allo stesso modo del seno, fino a (3/2)*pg, in cui (mentre il seno decresceo e torna a 0) la tua funzione continua a salire fino a 4. Quindi la tua funzione è una "scaletta" che (detto molto rozzamente) , se scriviamo
x="quella parte minore di pigreco mezzi" + K pigreco mezzi, diventa
Y=sen(x) + k per k pari
e
Y=K-sen(x) per K dispari
Oppure, un po' meno rozza ma più difficle da leggere,
definendo:[x] = "parte intera di x"
F(x)= senx+[2x/(pg)] se [2x/pg] è pari
F(x)=[2x/pg]-sen(x) se [2x/pg] è dispari
Scusate se non so usare il Latex
da 0 a pg mezzi è uguale a sen(x) ovviamente. Poi , da pg/2 a pg anzichè decrescere, sale (poichè la derivata è positiva anziche negativa), in maniera esattamente simmetrica a come sen(x) scende. Poi (anche se oramai ha raggiunto il valore 2) "sale" allo stesso modo del seno, fino a (3/2)*pg, in cui (mentre il seno decresceo e torna a 0) la tua funzione continua a salire fino a 4. Quindi la tua funzione è una "scaletta" che (detto molto rozzamente) , se scriviamo
x="quella parte minore di pigreco mezzi" + K pigreco mezzi, diventa
Y=sen(x) + k per k pari
e
Y=K-sen(x) per K dispari
Oppure, un po' meno rozza ma più difficle da leggere,
definendo:[x] = "parte intera di x"
F(x)= senx+[2x/(pg)] se [2x/pg] è pari
F(x)=[2x/pg]-sen(x) se [2x/pg] è dispari
Scusate se non so usare il Latex
(Ormai non riesco più a togliermelo dalla testa...)
Il Wolfram Integrator dà come soluzione $ \sqrt{cos^2x}\,\,tgx + c $. Non accetta le espressioni con modulo, ma le scritture $ |cosx| $ e $ \sqrt{cos^2x} $ sono equivalenti.
Tuttavia, mi pare che ci stiamo sempre girando attorno. Cioè: se $ cosx < 0 $ allora il risultato dell'Integrator diventa: $ -cosx \frac{senx}{cosx} + c $, ovvero $ -senx + c $.
Se invece $ cosx > 0 $ allora il risultato dell'Integrator è: $ cosx \frac{senx}{cosx} + c $, cioè: $ senx + c $.
Per il momento mi basta che alla mia prof non venga voglia di metterlo su un compito...
Il Wolfram Integrator dà come soluzione $ \sqrt{cos^2x}\,\,tgx + c $. Non accetta le espressioni con modulo, ma le scritture $ |cosx| $ e $ \sqrt{cos^2x} $ sono equivalenti.
Tuttavia, mi pare che ci stiamo sempre girando attorno. Cioè: se $ cosx < 0 $ allora il risultato dell'Integrator diventa: $ -cosx \frac{senx}{cosx} + c $, ovvero $ -senx + c $.
Se invece $ cosx > 0 $ allora il risultato dell'Integrator è: $ cosx \frac{senx}{cosx} + c $, cioè: $ senx + c $.
Per il momento mi basta che alla mia prof non venga voglia di metterlo su un compito...
Questo si, ma per far si che la funzione primitiva sia derivabile deve essere continua. Quindi devi far velece "c" in modo che non ci siano discontinuità quando |cos(x)| =0dimpim ha scritto:(Ormai non riesco più a togliermelo dalla testa...)
Il Wolfram Integrator dà come soluzione $ \sqrt{cos^2x}\,\,tgx + c $. Non accetta le espressioni con modulo, ma le scritture $ |cosx| $ e $ \sqrt{cos^2x} $ sono equivalenti.
Tuttavia, mi pare che ci stiamo sempre girando attorno. Cioè: se $ cosx < 0 $ allora il risultato dell'Integrator diventa: $ -cosx \frac{senx}{cosx} + c $, ovvero $ -senx + c $.
Se invece $ cosx > 0 $ allora il risultato dell'Integrator è: $ cosx \frac{senx}{cosx} + c $, cioè: $ senx + c $.
Per il momento mi basta che alla mia prof non venga voglia di metterlo su un compito...
Prova su un calcolatorea disegnare il grafico di F(x)= integrale da 0 a X di |cos(x)|
Da neofita, propongo questa funzione
posto
$ Flp(x)=[(2x-\pi)/2\pi] $
dove $ [x] $ è la funzione che restituisce l'intero immediatamente inferiore o uguale a $ x $ (es : $ [-0.2]=-1 $ e $ [0.2]=0 $) allora, l'integrale (esatto) tra 0 e $ x $ di $ |cos(t)| $ diventa:
$ 2+2Flp(x)-sin(x-\pi Flp(x)) $
Se ti basta un'espressione analitica semplice (ma approssimata), puoi usare la seguente, che fornisce l'integrale con scostamenti entro 0.01 dal valore esatto per ogni x:
$ 2x/\pi+0.212207sin(2x)-0.0212207sin(4x) $
Se vuoi una precisione maggiore fammi sapere
ciao a tutti
posto
$ Flp(x)=[(2x-\pi)/2\pi] $
dove $ [x] $ è la funzione che restituisce l'intero immediatamente inferiore o uguale a $ x $ (es : $ [-0.2]=-1 $ e $ [0.2]=0 $) allora, l'integrale (esatto) tra 0 e $ x $ di $ |cos(t)| $ diventa:
$ 2+2Flp(x)-sin(x-\pi Flp(x)) $
Se ti basta un'espressione analitica semplice (ma approssimata), puoi usare la seguente, che fornisce l'integrale con scostamenti entro 0.01 dal valore esatto per ogni x:
$ 2x/\pi+0.212207sin(2x)-0.0212207sin(4x) $
Se vuoi una precisione maggiore fammi sapere
ciao a tutti
BMcKMas
"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio
"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio
è esattamente quello che immaginavo (e che ho tentato di scrivere)dimpim ha scritto:Ok, fatto. Questo è quello che mi fa vedere Derive:
Non so se la forma estema che ho utilizzato sia corretta, però ho ricontrollato e mi sembra di si. Se qualcuno riesca a tradurre i miei geroglifici potrà confermare o smentire...