disuguaglianza dimensioni nuclei

[hexen]

Sia $ A,B \in \mbox{End}(V) $. Mostrare che $ \dim \ker AB \leq \dim \ker A + \dim \ker B $. Non so come farlo...

(A esercitazione è venuto fuori come lemma per stimare la dimensione del nucleo di un endomorfismo composto con sé stesso evitando di dover calcolare il quadrato di una matrice di grandi dimensioni)

ciao

[talpuz]

x sta nel ker di AB se x sta nel ker di B, oppure B(x) sta nel ker di A

quindi dimKer(AB)<=dimKerB+dim(KerA(intersecato)ImB)<=dimKerB+dimKerA

torna?

[hexen]

nn mi tornano le stime (2a riga)

[AleX_ZeTa]

Come giustamente ha detto talpuz:

$ \ker AB = \ker B \cup (\ker A \cap \hbox{Im} B) $

perchè se $ AB(x) = 0 $ allora $ B(x) = 0 $ (quindi $ x \in \ker B $) oppure $ A(B(x)) = 0 $ (allora $ B(x) \in \ker A $, ma ovviamente $ B(x) \in \hbox{Im}B $)

quindi abbiamo che:

$ \dim \ker AB = \dim \ker B + \dim (\ker A \cap \hbox{Im}B) $

ma $ \dim \ker A \geq \dim (\ker A \cap \hbox{Im}B) $

quindi:

$ \dim \ker AB \leq \dim \ker B + \dim \ker A $

[talpuz]

$ \ker AB = \ker B \cup (\ker A \cap \hbox{Im} B) $

a fare i pignoli questa è falsa in generale

gli x che annullano B annullano anche AB, e ok

ma gli x che stanno in ImB e in KerA non è detto che stiano in kerAB! quelli che ci stanno sono gli x tali che B(x) sta in KerA, che sarebbe B^-1(KerA)

inoltre non è detto che

$ \dim \ker AB = \dim \ker B + \dim (\ker A \cap \hbox{Im}B) $

(i due sottospazi a dx potrebbero intersecarsi)

di sicuro però vale la disuguaglianza, e il resto della stima funziona

[AleX_ZeTa]

oops che casino ho fatto -.-

[hexen]

$ \dim \ker AB \leq \dim \ker B + \dim (\ker A \cap \hbox{Im}B) $

ed ecco la prima disuguaglianza del 2° post... e la seconda?

[hexen]

x sta nel ker di AB se x sta nel ker di B, oppure B(x) sta nel ker di A

$ \ker AB = \ker B \cup B^{-1}(\ker A) $
poi
$ B^{-1}(\ker A) = \{ B^{-1} a : a \in \ker A \} $$ = \{ x:x \in Im B, x \in \ker A \} = \ker A \cap Im B $(*)

$ \dim \ker AB \leq \dim \ker B + \dim (Im B \cap \ker A) $
$ \dim(Im B \cap \ker A) \leq \dim \ker A $

$ \dim \ker AB \leq \dim \ker A + \dim \ker B $, tesi.

Ma qualcuno non ha negato l'uguaglianza (*) ??

[EvaristeG]

$ \ker A\supset (\ker A\cap \textrm{Im}B)\Rightarrow \dim\ker A\geq\dim(\ker A\cap \terxrm{Im}B) $

[hexen]

$ \ker A\superset (\ker A\cap \textrm{Im}B) $

qual è il predicato?