disuguaglianza dimensioni nuclei
disuguaglianza dimensioni nuclei
Sia $ A,B \in \mbox{End}(V) $. Mostrare che $ \dim \ker AB \leq \dim \ker A + \dim \ker B $. Non so come farlo...
(A esercitazione è venuto fuori come lemma per stimare la dimensione del nucleo di un endomorfismo composto con sé stesso evitando di dover calcolare il quadrato di una matrice di grandi dimensioni)
ciao
(A esercitazione è venuto fuori come lemma per stimare la dimensione del nucleo di un endomorfismo composto con sé stesso evitando di dover calcolare il quadrato di una matrice di grandi dimensioni)
ciao
[url=http://davidpet.interfree.it/renato.html:3r47vsho]Stamattina hanno suonato alla porta. Sono andato ad aprire e...[/url:3r47vsho]
[url=http://davidpet.interfree.it/jabber/index.html:3r47vsho]Guida introduttiva a Jabber[/url:3r47vsho]
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Come giustamente ha detto talpuz:
$ \ker AB = \ker B \cup (\ker A \cap \hbox{Im} B) $
perchè se $ AB(x) = 0 $ allora $ B(x) = 0 $ (quindi $ x \in \ker B $) oppure $ A(B(x)) = 0 $ (allora $ B(x) \in \ker A $, ma ovviamente $ B(x) \in \hbox{Im}B $)
quindi abbiamo che:
$ \dim \ker AB = \dim \ker B + \dim (\ker A \cap \hbox{Im}B) $
ma $ \dim \ker A \geq \dim (\ker A \cap \hbox{Im}B) $
quindi:
$ \dim \ker AB \leq \dim \ker B + \dim \ker A $
$ \ker AB = \ker B \cup (\ker A \cap \hbox{Im} B) $
perchè se $ AB(x) = 0 $ allora $ B(x) = 0 $ (quindi $ x \in \ker B $) oppure $ A(B(x)) = 0 $ (allora $ B(x) \in \ker A $, ma ovviamente $ B(x) \in \hbox{Im}B $)
quindi abbiamo che:
$ \dim \ker AB = \dim \ker B + \dim (\ker A \cap \hbox{Im}B) $
ma $ \dim \ker A \geq \dim (\ker A \cap \hbox{Im}B) $
quindi:
$ \dim \ker AB \leq \dim \ker B + \dim \ker A $
"E se si sono rotti i freni?"
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."
a fare i pignoli questa è falsa in generaleAleX_ZeTa ha scritto: $ \ker AB = \ker B \cup (\ker A \cap \hbox{Im} B) $
gli x che annullano B annullano anche AB, e ok
ma gli x che stanno in ImB e in KerA non è detto che stiano in kerAB! quelli che ci stanno sono gli x tali che B(x) sta in KerA, che sarebbe B^-1(KerA)
inoltre non è detto che
$ \dim \ker AB = \dim \ker B + \dim (\ker A \cap \hbox{Im}B) $
(i due sottospazi a dx potrebbero intersecarsi)
di sicuro però vale la disuguaglianza, e il resto della stima funziona
ed ecco la prima disuguaglianza del 2° post... e la seconda?talpuz ha scritto:
$ \dim \ker AB \leq \dim \ker B + \dim (\ker A \cap \hbox{Im}B) $
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$ \ker AB = \ker B \cup B^{-1}(\ker A) $talpuz ha scritto:x sta nel ker di AB se x sta nel ker di B, oppure B(x) sta nel ker di A
poi
$ B^{-1}(\ker A) = \{ B^{-1} a : a \in \ker A \} $$ = \{ x:x \in Im B, x \in \ker A \} = \ker A \cap Im B $(*)
$ \dim \ker AB \leq \dim \ker B + \dim (Im B \cap \ker A) $
$ \dim(Im B \cap \ker A) \leq \dim \ker A $
$ \dim \ker AB \leq \dim \ker A + \dim \ker B $, tesi.
Ma qualcuno non ha negato l'uguaglianza (*) ??
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$ \ker A\supset (\ker A\cap \textrm{Im}B)\Rightarrow \dim\ker A\geq\dim(\ker A\cap \terxrm{Im}B) $
Ultima modifica di EvaristeG il 05 mar 2006, 15:37, modificato 2 volte in totale.
qual è il predicato?EvaristeG ha scritto:$ \ker A\superset (\ker A\cap \textrm{Im}B) $
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