Piccoli balcanici crescono

[Boll]

Per i soliti reali positivi, provare che

$ \displaystyle \frac{ x+y}{x^2-xy+y^2 } \leq \frac{ 2\sqrt 2 }{\sqrt{ x^2 +y^2 } } $

[post233]

Per i soliti reali positivi, provare che

$ \displaystyle \frac{ x+y}{x^2-xy+y^2 } \leq \frac{ 2\sqrt 2 }{\sqrt{ x^2 +y^2 } } $

Scriviamo la disuguaglianza come
$ \displaystyle \frac{x+y}{\displystyle \frac{x^3+y^3}{x+y}} \leq \frac{2}{\sqrt{\diplaystyle \frac{x^2+y^2}{2}}} $

ovvero

$ \displaystyle \frac{2 \displaystyle \frac{x+y}{2}}{\displaystyle \frac{2 \displaystyle \frac{x^3+y^3}{2}}{2 \displaystyle \frac{x+y}{2}}} \leq \frac{2}{\sqrt{\diplaystyle \frac{x^2+y^2}{2}}} $


e dunque

$ \displaystyle \frac{2 A.M.(x,y)}{\displaystyle \frac{2 C.M.^3(x,y)}{2 A.M.(x,y)}} \leq \frac{2}{Q.M.(x,y)} $, da cui $ A.M.^2*Q.M. \leq C.M.^3 $, vera per le medie.

Spero di non aver scritto vaccate...

EDIT: Spero così sia meno "da bestia"...

[Leandro]

Per una volta vorrei adoperare la tanto bistrattata "brute force".
Elevando al quadrato e riducendo a forma intera si ha:
$ \displaystyle (x+y)^2(x^2+y^2)-8(x^2-xy+y^2)^2 \leq 0 $
ovvero:
$ \displaystyle (x^2+y^2+2xy)(x^2+y^2)-8(x^2-xy+y^2)^2 \leq 0 $
Poniamo ora $ \displaystyle x^2+y^2=u,xy=v $
Ne segue:
$ \displaystyle u(u+2v)-8(u-v)^2 \leq 0 $
Od anche:
$ \dispalystyle 7u^2-18uv+8v^2\geq 0 $
e scomponendo:
(a) $ \displaystyle (u-2v)(7u-4v)\geq0 $
Ora e' :
$ \displaystyle u-2v=x^2+y^2-2xy=(x-y)^2\geq 0 $
mentre risulta:
$ \displaystyle 7u-4v=7x^2+7y^2-4xy=y^2\left [7\left(\frac{x}{y}\right)^2-4\left(\frac{x}{y}\right)+7\right] $
e quest'ultima espressione e' sicuramente >0 perche' y^2>0 e l'espressione
in parentesi quadra ha il discriminante <0.
In conclusione la (a) e' certamente verificata e l'eguaglianza si verifica per u=2v
ovvero per x=y.
Leandro

[Boll]

Ok, alla Leandro's, e anche alla post, veramente elegantissima anche se scritta veramente da bestia (senza offesa, carissimo, potevi spendere due paroline in più...). La mia, degna del peggior manovale è la seguente:

$ a=x+y $
$ b=xy $
per AM-GM sappiamo che $ a^2-4b $ è positivo o nullo, quindi

$ \dfrac{a}{a^2-3b}\le \dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a^2-2b}}\Leftrightarrow $
$ 2\sqrt{2}(a^2-3b)\ge a\sqrt{a^2-2b}\Leftrightarrow $
$ 8(a^2-3b)^2\ge a^2(a^2-2b)\Leftrightarrow $
$ 8((a^2-4b)+b)^2-a^2((a^2-4b)+2b)\ge 0 \Leftrightarrow $
$ 8(a^2-4b)^2+8b^2+16b(a^2-4b)-a^2(a^2-4b)-2a^2b \ge 0\Leftrightarrow $
$ (8a^2-32b)(a^2-4b) $$ +16b(a^2-4b)-a^2(a^2-4b)-2b(a^2-4b)\ge 0 \Leftrightarrow $
$ (a^2-4b)(7a^2-18b)\ge 0 \Leftrightarrow $
$ (a^2-4b)(7(a^2-4b)+10b)\ge 0 $

che poi, dopo tutto questo, sarebbe semplicemente, nella notazione originale...
$ (x-y)^2(7(x-y)^2+10xy)\ge 0 $