ecco qua:
siano dati $ a,b,c $ reali positivi tali che $ ab+bc+ca=abc $
dimostrare che
$ \displaystyle \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}+\frac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}+\frac{c^4+a^4}{ca(c^3+a^3)}\geq 1 $
come al solito è principalmente per quelli che sono andati al WC, ma visto che è facile non scrivete la soluzione subito...
ciao ciao
disuguaglianza fattibile
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HumanTorch
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Corretto il tex : \cotg non esiste ... è \cot ... EG
Dividiamo entrambi i membri dell'ipotesi per $ abc $: otteniamo $ \sum \frac{1}{a}=1 $.
Sappiamo però che $ \sum \cot\alpha=1 $, con gli $ \alpha $ angoli di un triangolo qualsiasi.
Sia quindi $ a=\tan \alpha $;
$ b=\tan \beta $;
$ c=\tan \gamma $; e sfruttiamo le formule di addizione e sottrazione
Ora, $ ab^3+ba^3<a^4+b^4 $ per riordinamento o per simmetria $ a>b $..., trattandosi di numeri positivi reali, abbiamo $ \displaystyle\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}<\frac{a^4+b^4+ba^3+ab^3)}{a^3+b^3}=a+b $ Quindi $ \displaystyle\sum 2\cdot \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}\geq 2\sum \frac{1}{a}=2 $, con uguaglianza verificata per $ a=b=c $
Dividiamo entrambi i membri dell'ipotesi per $ abc $: otteniamo $ \sum \frac{1}{a}=1 $.
Sappiamo però che $ \sum \cot\alpha=1 $, con gli $ \alpha $ angoli di un triangolo qualsiasi.
Sia quindi $ a=\tan \alpha $;
$ b=\tan \beta $;
$ c=\tan \gamma $; e sfruttiamo le formule di addizione e sottrazione
Ora, $ ab^3+ba^3<a^4+b^4 $ per riordinamento o per simmetria $ a>b $..., trattandosi di numeri positivi reali, abbiamo $ \displaystyle\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}<\frac{a^4+b^4+ba^3+ab^3)}{a^3+b^3}=a+b $ Quindi $ \displaystyle\sum 2\cdot \frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}\geq 2\sum \frac{1}{a}=2 $, con uguaglianza verificata per $ a=b=c $
Premetto che non ho capito la soluzione di HumanTorch, e rischio di doppiarla. Comunque
$ \dfrac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}\ge \dfrac{a^{-1}+b^{-1}}{2} $
$ 2(a^4+b^4)\ge (a^{-1}+b^{-1})(ab(a^3+b^3)) $
$ 2a^4+2b^2\ge a^3b+b^4+a^4+ab^3 $
$ a^4+b^4\ge a^3b+b^3a $
supposto $ a\ge b $ quindi $ a^3\ge b^3 $ la tesi è evidente per la disuguaglianza di riordinamento
Permutando ciclicamente la prima si ha la tesi, sfruttando il fatto che $ \sum a^{-1}=1 $
Al solito tutti i passaggi invertibili
$ \dfrac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}\ge \dfrac{a^{-1}+b^{-1}}{2} $
$ 2(a^4+b^4)\ge (a^{-1}+b^{-1})(ab(a^3+b^3)) $
$ 2a^4+2b^2\ge a^3b+b^4+a^4+ab^3 $
$ a^4+b^4\ge a^3b+b^3a $
supposto $ a\ge b $ quindi $ a^3\ge b^3 $ la tesi è evidente per la disuguaglianza di riordinamento
Permutando ciclicamente la prima si ha la tesi, sfruttando il fatto che $ \sum a^{-1}=1 $
Al solito tutti i passaggi invertibili
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)