div con un primo

[evans]

Provare che se $ p\: $ è primo allora $ p\: $ divide $ 2^p -2 $

[Ani-sama]

Può essere soltanto $ 2 $... penso... d'altra parte, $ 2^p-2 $ sarà sempre maggiore di $ p $, per $ p>2 $...

O forse il problema che intendi è diverso...?

[EvaristeG]

Ani-sama, il problema chiede questo :

IPOTESI : p è primo
TESI : p divide $ 2^p-2 $

Non si domanda di determinare i primi per cui vale questa relazione, ma di dimostrare che vale per ogni primo.
Inoltre, è giusto che $ 2^p-2 $ sia maggiore di p, in quanto la tesi è proprio che ne sia un multiplo.

[Ani-sama]

Uh, mi si perdoni il fraintendimento linguistico... ho letto "divide" e ho capito il contrario

[snagg]

salve, è la mia prima dimostrazione quindi chiedo venia per eventuali errori nello svolgimento

per
$ p = 2 $
la dimostrazione è banale infatti $ (2^2 -2) = 2 $

consideriamo ogni primo tale che $ p\neq 2 $ , si può scrivere $ 2(2^{p-1} -1) $

Per il corollario al teorema fondamentale dell'artimetica, ovvero : se un numero primo p è divisore di un prodotto ab, esso deve essere divisore o di a o di b

Poichè abbiamo posto $ p\neq 2 $ allora p deve dividere $ (2^{p-1} -1) $. Per il teorema di Fermat( se p è un numero primo non divisore del numero intero a allora$ a^{p-1}\equiv 1 \pmod{p} $

Ovvero $ a^{p-1} -1 \equiv 0 \pmod{p} $

Nel nostro caso: $ 2^{p-1} -1 \equiv 0 \pmod{p} $

Quindi p divide $ 2^p -2 $

q.e.d.

chiedo di nuovo scusa se ci sono errori.

Snagg

[mitchan88]

In pratica è l'enunciato del teorame di Fermat!

Dai un'occhiatina qui http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... php?t=3713