Pre Imo Pisa 03

[Gauss_87]

Let $ a,b,c \in R^+ $. Prove that:
$ \frac{\sqrt{ab} + \sqrt{bc}+ \sqrt{ac}}{3} \leq \sqrt[3]{\frac{a+b}{2} \cdot \frac{b+c}{2} \cdot \frac{a+c}{2} } $

[Ani-sama]

È solo un'idea venuta fuori così, ma secondo vuoi può aver senso operare una sostituzione del tipo:
$ x=a+b+c $ e $ y=abc $ ?

[what]

Soluzione BRUTTA, gli esteti e i puristi non guardino, ma almeno imparo ad usare il bunching...

Prima di tutto per comodità mando a in a^2 e così via, ottenendo

$ \displaystyle \frac {ab+bc+ca}3 \leq \sqrt[3]{\frac{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}8} $

Ora elevo al cubo ambo i membri e comincio i contazzi fino ad arrivare a

$ \displaystyle 4\sum{a^3b^3}+24\sum{a^3b^2c}+8\sum{a^2b^2c^2}\leq 27\sum{a^4b^2}+9\sum{a^2b^2c^2} $

ossia

$ \displaystyle 4\sum{a^3b^3}+24\sum{a^3b^2c}\leq 27\sum{a^4b^2}+\sum{a^2b^2c^2} $

ma con il bunching

$ \displaystyle 26\sum{a^4b^2}\geq 4\sum{a^3b^3}+22\sum{a^3b^2c} $

e dunque mi manca da dimostrare che

$ \displaystyle \sum{a^4b^2}+\sum{a^2b^2c^2}\geq 2\sum{a^3b^2c} $

che è AM-GM per le coppie del tipo $ a^4b^2,a^2b^2c^2 $.
ciao

[Gauss_87]

Ciao, anch'io avevo provato con il bunching, soluzione faticosa ma in genere efficace, ma credo di aver sbagliato qualke contazzo...

Cmq l'ho risolta anke senza bunching, posto al più presto

[EvaristeG]

È solo un'idea venuta fuori così, ma secondo vuoi può aver senso operare una sostituzione del tipo:
$ x=a+b+c $ e $ y=abc $ ?

Ehm ... ben poco, se non ci aggiungi almeno un'altra variabile : hai a,b,c completamente indipendenti (cioè non c'è alcuna relazione che le lega), quindi non puoi riscrivere tutto con due sole variabili.

[Gauss_87]

Prima di tutto per comodità mando a in a^2 e così via, ottenendo

$ \displaystyle \frac {ab+bc+ca}3 \leq \sqrt[3]{\frac{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}8} $

Ora elevo al cubo ambo i membri e comincio i contazzi fino ad arrivare a

Cmq dovrebbe essere: $ \displaystyle \sqrt{\frac {ab+bc+ca}3} $