Siano $ a,b,c \in R^+, ab + bc +ac = 1 $. Dimostrare:
$ \sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b} + \sqrt[3]{\frac{1}{b}+6c} + \sqrt[3]{\frac{1}{c}+6a} \leq \frac{1}{abc} $
Pre Imo Pisa 05
Pre Imo Pisa 05
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza
Detto P il primo membro della diseg. ,si ha:
$ \displaystyle P=\sqrt[3]{\left(\frac{1}{a}\right)(1+6ab)(1)}+ \sqrt[3]{\left(\frac{1}{b}\right)(1+6bc)(1)} $$ \displaystyle +\sqrt[3]{\left(\frac{1}{c}\right)(1+6ca)(1)} $
Per Holder si avra':
$ \displaystyle P \leq \sqrt[3]{\left( \frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)[3+6(ab+bc+ca)](1+1+1)} $
Od anche:
$ \displaystyle P \leq \sqrt[3]{27\left(\frac{ab+bc+ca}{abc}\right)}=\frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{abc} $
Da cui:
$ \displaystyle P \leq \frac{3}{abc}\sqrt[3]{(ab)(bc)(ca)} \leq \frac{3}{abc}\left(\frac{ab+bc+ca}{3}\right)=\frac{1}{abc} $
Leandro
$ \displaystyle P=\sqrt[3]{\left(\frac{1}{a}\right)(1+6ab)(1)}+ \sqrt[3]{\left(\frac{1}{b}\right)(1+6bc)(1)} $$ \displaystyle +\sqrt[3]{\left(\frac{1}{c}\right)(1+6ca)(1)} $
Per Holder si avra':
$ \displaystyle P \leq \sqrt[3]{\left( \frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)[3+6(ab+bc+ca)](1+1+1)} $
Od anche:
$ \displaystyle P \leq \sqrt[3]{27\left(\frac{ab+bc+ca}{abc}\right)}=\frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{abc} $
Da cui:
$ \displaystyle P \leq \frac{3}{abc}\sqrt[3]{(ab)(bc)(ca)} \leq \frac{3}{abc}\left(\frac{ab+bc+ca}{3}\right)=\frac{1}{abc} $
Leandro
