Disuguaglianze docent

[Simo_the_wolf]

Dimostrare che $ \forall a,b,c \in R^+ $ vale:

1) $ \displaystyle \frac{a^2+bc}{b+c} + \frac{b^2+ac}{a+c} + \frac{c^2+ab}{a+b} \geq a+b+c $

2) $ \displaystyle \frac 1a + \frac 1b + \frac 1c \geq \frac {b+c}{a^2+bc} + \frac {a+c}{b^2+ac} + \frac {a+b}{c^2+ab} $

[HumanTorch]

Dimostrare che $ \forall a,b,c \in R^+ $ vale:

1) $ \displaystyle \frac{a^2+bc}{b+c} + \frac{b^2+ac}{a+c} + \frac{c^2+ab}{a+b} \geq a+b+c $

Moltiplicando per 2, riordinando e ottenendo $ 2 LHS\geq \sum \frac{(a+b)^2}{a+b}=2 RHS $ si può?

[Spider]

Dimostrare che $ \forall a,b,c \in R^+ $ vale:
1) $ \displaystyle \frac{a^2+bc}{b+c} + \frac{b^2+ac}{a+c} + \frac{c^2+ab}{a+b} \geq a+b+c $

Essendo la disuguaglianza simmetrica, possiamo porre $ a \geq b \geq c $. Osserviamo che:

$ \displaystyle \frac{a^2+bc}{b+c} - b = \frac{a^2 - b^2}{b+c} $

Utilizzando questo fatto sui tre termini, la tesi diventa:

$ \displaystyle \frac{a^2-b^2}{b+c} + \frac{b^2-c^2}{c+a} + \frac{c^2-a^2}{a+b} \geq 0 $

Notando che $ c^2 - a^2 = c^2 - b^2 + b^2 - a^2 $, possiamo riscriverla così:

$ \displaystyle \frac{a^2-b^2}{b+c} + \frac{b^2-c^2}{c+a} - \frac{b^2-c^2}{a+b} - \frac{a^2-b^2}{a+b} \geq 0 $

Ossia, raccogliendo:

$ \displaystyle \left({a^2-b^2}\right)\left(\frac{1}{b+c} - \frac{1}{a + b} \right) + \left({b^2-c^2}\right)\left(\frac{1}{c+a} - \frac{1}{a + b} \right) \geq 0 $

Vera perché tutti i fattori sono positivi.

Spider

[Simo_the_wolf]

Perfetto Spider, ora sotto con l'altro!

[mattilgale]

allora...

è omogenea quindi mettiamo abc=1

adesso diventa

$ \displaystyle\sum_{cyc}\frac{a(b+c)}{a^3+1}\leq ab+ac+bc $

osserviamo che
$ \displaystyle\frac{a(b+c)}{a^3+1}-bc=\frac{ac+ab-a^2-bc}{a^3+1} $

quindi passiamo a dimostrare che

$ \dispalystyle \sum_{cyc}\frac{a^2+bc-ac-bc}{a^3+1}\geq 0 $

per simmetria poniamo
$ a\geq b\geq c $

allora sia ha per riarrangiamento
$ a^2+bc-ac-ab\geq 0 $
e
$ c^2+ab-ac-bc\geq 0 $

mentre $ b^2+ac-bc-ac\leq 0 $

possiamo però dimostrare (semplifico e viene AM-GM)
che
$ c^2+ab-ac-bc\geq -(b^2+ac-bc-ab) $
quindi a maggior ragione
$ \displaystyle\frac{c^2+ab-ac-bc}{c^3+1}\geq -\frac{b^2+ac-ab-bc}{b^3+1} $

quindi vale la disuguaglianza che volevamo dimostrare e l'uguaglianza vale se e solo se a=b=c

[Simo_the_wolf]

Ottimo risolte entrambe. Ora dico la liea giuda della mia soluzione (praticamente identica per entrambe):

Noto che $ \displaystyle \frac {a^2+bc}{b+c} - a = \frac {(a-b)(a-c)}{b+c} $.

Ora WLOG dico che $ a \geq b \geq c $ e vedo che due termini sono sicuramente positivi e l'altro che è negativo è minore però in valore assoluto a uno degli altri due (stessa tecnica di mattilgale). Per l'altro è uguale notando che $ \displaystyle \frac 1a - \frac {b+c}{a^2+bc}= \frac {(a-b)(a-c)}{a(a^2+bc)} $.