Quadrati di un tetraedro

[Piera]

Dimostrare che la somma dei quadrati degli spigoli di un tetraedro equivale a quattro volte la somma dei quadrati dei segmenti che uniscono i punti medi degli spigoli opposti.

[Leandro]

Applicando la formula della mediana ai triangoli ABC, BVC e AVN, si ha
rispettivamente:
$ \displaystyle AN^2=\frac{1}{2}(e^2+f^2)-\frac{1}{4}d^2 $
$ \displaystyle VN^2=\frac{1}{2}(c^2+b^2)-\frac{1}{4}d^2 $
$ \displaystyle MN^2=\frac{1}{2}(AN^2+VN^2)-\frac{1}{4}VA^2 $
Ovvero sostituendo:
(1) $ \displaystyle MN^2=\frac{1}{4}(-a^2+b^2+c^2-d^2+e^2+f^2) $
Formule analoghe si ottengono ,shiftando le lettere,per le altre due coppie
di spigoli opposti:
(2) $ \displaystyle PQ^2=\frac{1}{4}(-b^2+c^2+d^2-e^2+f^2+a^2) $
(3) $ \displaystyle RS^2=\frac{1}{4}(-c^2+d^2+e^2-f^2+a^2+b^2) $
Sommando le (1),(2) e (3) si ha il risultato.
Leandro