Sia ABCD un parallelogramma. Scelto un punto P sul lato CD lo si congiunga con A e B e analogamente un punto Q sul lato AB lo si congiunga con C e D.
AP e DQ si intersecano in M, BP e QC si intersecano in N, la retta MN interseca la retta AB in Y e la retta CD in X. Dimostrare che DX=BY.
parallelogramma
Applichiamo Menelao ai triangoli APB ,DQC e alla retta XY:
PM/MA.AY/YB.BN/NP=1
DM/MQ.QN/NC.CX/XD=1
e dunque:
(1)PM/MA.AY/YB.BN/NP=DM/MQ.QN/NC.CX/XD
Ora dalla similitudine delle coppie di triangoli (DMP,AMQ) e (PNC,QNB) si ha:
DM/MQ=PM/MA,BN/NP=QN/NC e pertanto la (1) semplificata diventa:
AY/YB=CX/XD e scomponendo:
(AY-YB)/YB=(CX-XD)/XD ,cioe' AB/YB=CD/XD ed essendo AB=CD segue YB=XD.
Leandro