È data la successione di interi positivi definita da
$ a_{n+1}=a_n^3+1999 $
Dimostrare che il numero dei quadrati perfetti contenuti nella successione è minore o uguale a uno.
Ciau!
PreImo 2002 successione
Osservazioni
E' noto che, salvo la coppia (0,1) non esistono due quadrati consecutivi. Quindi, fra i quadrati di interi positivi, non ve ne sono di consecutivi.
I residui cubici modulo 7 sono (0,1,-1), il primo sse abbiamo il cubo di uno zero modulo 7
I residui quadratici modulo 7 sono (0,2,4), il primo sse abbiamo il quadrato di uno zero modulo 7.
Il problema
Abbiamo tre casi
i) $ a_1 $ è un quadrato zero modulo 7.
E' evidente (residui cubici) che se $ a_n $ non è multiplo di 7, $ a_{n+1} $ è congruo a 3 o 5. Quindi abbiamo che da $ a_2 $, che è congruo a 4, tutti i termini hanno una congruenza che non è residuo quadratico modulo 7. Il secondo termine non può essere quadrato poichè si è detto che non esistono due quadrati consecutivi fra gli interi positivi.
ii) $ a_1 $ è un quadrato 2 o 4 modulo 7
Guardando i residui cubici modulo 7 avremo che non si toccano più residui quadratici modulo 7 nella successione.
iii) $ a_1 $ non è un quadrato
Se non è congruo a zero modulo 7, avremo che non si toccano residui quadratici modulo 7 (stesse osservazioni sui residui cubici). Se è congruo a zero modulo 7 il secono termine (congruo a 4) può essere un quadrato, ma non lo possono essere tutti i successivi.
E' noto che, salvo la coppia (0,1) non esistono due quadrati consecutivi. Quindi, fra i quadrati di interi positivi, non ve ne sono di consecutivi.
I residui cubici modulo 7 sono (0,1,-1), il primo sse abbiamo il cubo di uno zero modulo 7
I residui quadratici modulo 7 sono (0,2,4), il primo sse abbiamo il quadrato di uno zero modulo 7.
Il problema
Abbiamo tre casi
i) $ a_1 $ è un quadrato zero modulo 7.
E' evidente (residui cubici) che se $ a_n $ non è multiplo di 7, $ a_{n+1} $ è congruo a 3 o 5. Quindi abbiamo che da $ a_2 $, che è congruo a 4, tutti i termini hanno una congruenza che non è residuo quadratico modulo 7. Il secondo termine non può essere quadrato poichè si è detto che non esistono due quadrati consecutivi fra gli interi positivi.
ii) $ a_1 $ è un quadrato 2 o 4 modulo 7
Guardando i residui cubici modulo 7 avremo che non si toccano più residui quadratici modulo 7 nella successione.
iii) $ a_1 $ non è un quadrato
Se non è congruo a zero modulo 7, avremo che non si toccano residui quadratici modulo 7 (stesse osservazioni sui residui cubici). Se è congruo a zero modulo 7 il secono termine (congruo a 4) può essere un quadrato, ma non lo possono essere tutti i successivi.
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)