Minimizzare (1+1/x_1)...(1+1/x_n), ponendo x_1+ ...+x_n = 1

[HiTLeuLeR]

Essendo $ n \in\mathbb{Z}^+ $ ed $ x_1, x_2, \ldots, x_n \in \mathbb{R}^+ $ tali che $ x_1 + x_2 + \ldots + x_n = 1 $, calcolare (senza ricorrere ai moltiplicatori di Lagrange ) il minimo assoluto raggiunto dall'espressione $ \displaystyle \left(1 + \frac{1}{x_1}\right)\left(1 + \frac{1}{x_2}\right)\ldots\left(1 + \frac{1}{x_n}\right) $.

[Leandro]

Avrei trovato come limite inferiore il valore di $ (n+1)^n $ che risulta
effettivamente assunto per $ x_i=\frac{1}{n} $.
Ecco il procedimento (basato sulle note relazioni tra media armonica,geometrica
ed aritmetica):
(1)$ \displaystyle \sqrt[n]{\Pi(1+\frac{1}{x_i})}\geq\frac{n}{\sum\frac{1}{1+\frac{1}{x_i}}}=\frac{n}{\sum \frac{x_i}{1+x_i}}=\frac{n}{n-\sum \frac{1}{1+x_i}} $
Ora risulta:
$ \displaystyle \frac{n}{\sum \frac{1}{1+x_i}} \leq \frac{\sum (1+x_i)}{n}=\frac{n+1}{n} $
Da cui si ricava:
$ \displaystyle \sum \frac{1}{1+x_i}\geq \frac{n^2}{n+1} $
Pertanto la (1) diventa:
$ \displaystyle \sqrt[n]{\Pi(1+\frac{1}{x_i})}\geq \frac{n}{n-\frac{n^2}{n+1}}=(n+1) $
E quindi:
$ \displaystyle {\Pi(1+\frac{1}{x_i})}\geq (n+1)^n $
Leandro

[Simo_the_wolf]

metodo di mellin (omogeneizziamo )

$ \displaystyle \prod \left(1+ \frac 1{x_i}\right) = \prod \left(1+ \frac {x_1+x_2+....+x_n}{x_i}\right) $.

Ora vogliamo dimostrare che $ \prod(x_1+x_2...+x_n + x_i)\geq (n+1)^n x_1x_2x_3...x_n $

Ma per AM-GM abbiamo che $ x_1+x_2+...+x_n+x_i \geq n+1\sqrt[n+1]{(x_1x_2x_3...x_n)x_i} $

Moltiplicando tutto con i che va da 1 a n abbiamo la tesi.

[Boll]

Con molta brute force si potrebbe fare

$ \displaystyle f(x)=\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) $
$ \displaystyle f''(x)=\frac{2x+1}{x^2(x+1)^2} $ quindi convessa sui reali positivi

Applicando Jensen

$ \displaystyle \sum\ln \left( 1+\frac{1}{x_i}\right) \ge n*\ln \left(1+\dfrac{1}{1/n}\right) $

sfruttando proprietà e crescenza del logaritmo naturale


$ \displaystyle \prod \left(1+\frac{1}{x_i}\right) \ge (n+1)^n} $