Determinare ogni p, q \in P t.c. pq | (5^p - 2^p)(5^q - 2^q)
Determinare ogni p, q \in P t.c. pq | (5^p - 2^p)(5^q - 2^q)
Determinare ogni coppia $ (p,q) $ di primi naturali tali che $ pq \mid (5^p-2^p)(5^q-2^q) $. (Bulgaria 1996)
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Simo_the_wolf
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Osservazione iniziale:sia p sia q devono essere dispari poichè $ 5^a-2^a $ è semre dispari con $ a>0 $. Quindi $ p,q>2 $
1° caso: p e q sono uguali a 3. se entrambi sono uguali a 3 siamo apposto infatti $ 3|5^3-2^3 $. Quindi una coppia è $ (3,3) $
2° caso: WLOG $ p=3 $ e $ q\neq 3 $. quindi abbiamo $ 3q|117(5^q-2^q) $. Quindi $ q|3*13(5^q-2^q) $. Ma per il piccolo th. di fermat abbiamo che $ 3*13 ( 5^q-2^q) \equiv 3*13*(5-2)\equiv 0 \pmod {q} $ e quindi $ q|9*13 $ ma sappiamo che $ q\neq 3 $ e quindi $ q=13 $. Altre 2 coppie sono quindi $ (13,3) $ e $ (3,13) $.
3° caso: WLOG $ p \geq q >3 $.
Abbiamo che, prendendo la divisibilità per q: $ (5^q-2^q)(5^p-2^p) \equiv 0 \pmod{q} $. Sfuttanto il Picoolo th. di fermat e che $ (3,q)=1 $ allora abbiamo necessariamente:
$ 5^p \equiv 2^p \pmod{q} $.
Adesso moltiplichiamo tutto per l'inverso di $ 2 $ elevato alla $ p $ e otteniamo:
$ (5*2^{-1})^p \equiv 1 \pmod {q} $.
quindi $ ord_q(5*2^{-1})|p $ quindi può essere solo $ p $ oppure $ 1 $. Ma sappiamo che $ ord_q(5*2^{-1})|q-1 $ e quindi non può essere $ p $ perchè avremmo $ p|q-1 $ e quindi $ q\leq p \leq q-1 $ cioè un assurdo. Quindi $ ord_q(5*2^{-1})=1 $ e allora $ 5*2^{-1} \equiv 1 \pmod{p} $ e quindi, rimoltiplicando per $ 2 $ otterremmo $ 3|p $ contro le ipotesi.
1° caso: p e q sono uguali a 3. se entrambi sono uguali a 3 siamo apposto infatti $ 3|5^3-2^3 $. Quindi una coppia è $ (3,3) $
2° caso: WLOG $ p=3 $ e $ q\neq 3 $. quindi abbiamo $ 3q|117(5^q-2^q) $. Quindi $ q|3*13(5^q-2^q) $. Ma per il piccolo th. di fermat abbiamo che $ 3*13 ( 5^q-2^q) \equiv 3*13*(5-2)\equiv 0 \pmod {q} $ e quindi $ q|9*13 $ ma sappiamo che $ q\neq 3 $ e quindi $ q=13 $. Altre 2 coppie sono quindi $ (13,3) $ e $ (3,13) $.
3° caso: WLOG $ p \geq q >3 $.
Abbiamo che, prendendo la divisibilità per q: $ (5^q-2^q)(5^p-2^p) \equiv 0 \pmod{q} $. Sfuttanto il Picoolo th. di fermat e che $ (3,q)=1 $ allora abbiamo necessariamente:
$ 5^p \equiv 2^p \pmod{q} $.
Adesso moltiplichiamo tutto per l'inverso di $ 2 $ elevato alla $ p $ e otteniamo:
$ (5*2^{-1})^p \equiv 1 \pmod {q} $.
quindi $ ord_q(5*2^{-1})|p $ quindi può essere solo $ p $ oppure $ 1 $. Ma sappiamo che $ ord_q(5*2^{-1})|q-1 $ e quindi non può essere $ p $ perchè avremmo $ p|q-1 $ e quindi $ q\leq p \leq q-1 $ cioè un assurdo. Quindi $ ord_q(5*2^{-1})=1 $ e allora $ 5*2^{-1} \equiv 1 \pmod{p} $ e quindi, rimoltiplicando per $ 2 $ otterremmo $ 3|p $ contro le ipotesi.