dalle olimpiadi internazionali 2001...

[sgiangrag]

magari me la traducete ne LA TEX..
dimostrare che

a/(a^2+8bc)^0.5+b/(b^2+8ac^0.5+c/(c^2+8ab)^0.5>=1

[ma_go]

Dati $ a,b,c $ reali positivi, dimostrare che
$ \displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \ge 1 $

sgiangrag, per piacere, impara il LaTeX.. e soprattutto, ricordati le ipotesi

[sgiangrag]

nessuno la riesce a risolvere?

[Boll]

O era molto cattiva, o mi è sfuggito qualcosa, si attendono soluzioni elegantissime di Simo_the_Wolf

Dati $ a,b,c $ reali positivi, dimostrare che
$ \displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \ge 1 $

Poichè la disuguaglianza è omogenea $ abc=1 $
avremo
$ \displaystyle \sum \frac{a^{3/2}}{\sqrt{a^3+8}} \ge 1 $
$ a\rightarrow a^2 $ e cicliche e avremo
$ \displaystyle \sum \frac{a^3}{\sqrt{a^6+8}} \ge 1 $
senza perdere in generalità $ a=\dfrac{x}{y} $ e cicliche, con la nuova terna di reali positivi, e avremo
Nuova tesi
$ \displaystyle \sum \frac{x^3}{\sqrt{x^6+8y^6}} \ge 1 $

Per Cauchy avremo
$ \displaystyle \sum x^5\sqrt{x^6+8y^6}*\mbox{LHS}\ge (x^4+y^4+z^4)^2 $

non ci resta che provare che

$ (x^4+y^4+z^4)^2\ge \sum x^5\sqrt{x^6+8y^6} $
riscrivendola
$ \displaystyle \sum \dfrac{(x^8+2x^6y^2)+(x^8-2x^6y^2+4x^4y^4)}{2} $$ \displaystyle \ge \sum \sqrt{(x^8+2x^6y^2)(x^8-2x^6y^2+4x^4y^4)} $
che è la disuguaglianza AM-GM (ci sarebbe da osservare la positività dei due termini, ma il chè è banale)

[sgiangrag]

io ho trovato -almeno credo- 1 soluzione molto + semplice...vi do 1 indizio -poi caso mai ve ne do 1 altro-: ponete prima il caso a=b=c e poi ponete per simmetria a<b<c

[frengo]

la soluzione elengantissima eccola qua, ma non è PROPRIO farina del mio sacco.....

dimostro la seguente disuguaglianza:



$ \displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\geq\frac{a^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+c^{\frac{4}{3}}} $

$ \displaystyle \frac{a^2}{a^2+8bc}\geq\frac{a^{\frac{8}{3}}}{a^{\frac{8}{3}}+b^{\frac{8}{3}}+c^{\frac{8}{3}}+2a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{4}{3}}+2b^{\frac{4}{3}}c^{\frac{4}{3}}+2a^{\frac{4}{3}}c^{\frac{4}{3}}} $


$ a^{\frac{8}{3}}+b^{\frac{8}{3}}+c^{\frac{8}{3}}+2a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{4}{3}}+2b^{\frac{4}{3}}c^{\frac{4}{3}}+2a^{\frac{4}{3}}c^{\frac{4}{3}}\geq a^{\frac{8}{3}}+8a^{\frac{2}{3}}bc $

$ b^{\frac{8}{3}}+c^{\frac{8}{3}}+2a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{4}{3}}+2b^{\frac{4}{3}}c^{\frac{4}{3}}+2a^{\frac{4}{3}}c^{\frac{4}{3}}\geq 8a^{\frac{2}{3}}bc $

$ \displaystyle \frac{b^{\frac{8}{3}}+c^{\frac{8}{3}}+2a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{4}{3}}+2b^{\frac{4}{3}}c^{\frac{4}{3}}+2a^{\frac{4}{3}}c^{\frac{4}{3}}}{8}\geq a^{\frac{2}{3}}bc $

che e vera per AM-GM.

sommando si ha la tesi.

ciao ciao

[Simo_the_wolf]

Se non sbaglio PreIMO04 farina del sacco di gobbino...

[frengo]

già...l' "hint" era stato solo quello di usare le potenze alla $ \displaystyle \frac{4}{3} $...sono d'accordo che poi non ci vuole tanto, ma apparte quello ho fatto tutto da solo...
ciao ciao

ps sgiangrag, sono proprio curioso di vedere la tua soluzione...potresti postarla?

pps Boll, davvero notevole...se non sbaglio c'era qualcuno che la riteneva la più difficile disuguaglianza che avesse mai visto.

(per me è questa:

$ ab+bc+ca=1 $ $ \longrightarrow $ $ \frac{a^2b^2+1}{(a+b)^2}+\frac{b^2c^2+1}{(b+c)^2}+\frac{c^2a^2+1}{(c+a)^2}\geq \frac{5}{2} $

con $ a,b,c\geq0 $, non ne conosco ancora nessuna soluzione effettiva)

[Boll]

frengo, anche per me la più difficile della storia è quella che hai postato tu, ho letto su ML che implica un iraniana terribile, che era già una disuguaglianza di quelle "provi tutte le idee e poi ti disperi". Non credo comunque esista la soluzione elegante, io avevo provato "omogeneizza e bunch-shura", ma sono troppi-troppi-troppi conti.