Il tragico enigma dei tradimenti extra coniugali

[herbrand]

E' un gioco
logico-matematico quello che
potete leggere
a pp. 16-17
del libro
di J. A. Paulos, "Un matematico
gioca in Borsa".

La vicenda si svolge in uno sperduto villaggio sessista di una campagna non meglio identificata. In questo villaggio vivono numerose coppie sposate, per cui ogni donna viene a sapere immediatamente se il marito di un'altra donna l'ha tradita; tranne quando la vittima del tradimento è lei. Le regole ultrafemministe di questa ipotetica comunità stabiliscono che se una donna è in grado di provare l'infedeltà del marito, deve ucciderlo seduta stante. (...) Si dà il caso che venti mariti si siano abbandonati ai piaceri dell'amore extraconiugale; ma poiché nessuna delle tradite è in grado di provare il tradimento perpetrato dal proprio consorte, la vita del villaggio procede nel segno dell'allegria e dell'omertà. Poi, una mattina, la Madre va a trovare le sue adepte dall'altra parte della foresta. La sua sincerità è universalmente riconosciuta e le sue parole vengono prese per oro colato. Avverte gli abitanti del villaggio che tra di loro c'è almeno un fedifrago. Cosa succede?

[gianmaria]

La logica non è il mio forte, ma ci provo lo stesso. Il gioco è una variante a sessi scambiati di uno che già conoscevo, ma in cui c'era tempo un giorno per l'uccisione. Al ventesimo giorno, tutte le adultere venivano uccise in base ad un ragionamento simile a quello che trovate in "la settima notte di luna piena" in questa sezione del forum.
Qui non è fissato alcun intervallo di tempo; non essendo possibile dire quanti "seduta stante" sono passati, non si può stabilire il numero degli adulteri: quindi non succede niente. E' vero che una possibile conclusione potrebbe essere "tutti gli uomini vengono uccisi", ma non regge perchè bilanciata da "potrebbero esserci degli innocenti, fra cui mio marito".
Del resto il gioco tradizionale non mi ha mai convinto: in parte perchè l'enunciazione di un fatto noto a tutti non può provocare drastici cambiamenti e in parte perchè ogni donna può ragionare così: "Sto assumendo come vere non solo la dichiarazione della Madre, ma anche altre tre ipotesi: 1) che tutte le tradite abbiano fatto quel ragionamento e ne siano convinte; 2) che tutte siano ossequienti alla legge; 3) che nessuna abbia fatto questo mio ragionamento. Non sono certa di queste ipotesi, quindi non posso trarne conclusioni"

[herbrand]

Sì, sicuramente ci sono delle ipotesi che vanno specificate maglio come il livello di razionalità delle donne...ma il giochino mi sembra molto chiaro


La risposta è che al monito della Madre faranno seguito 19 giorni tranquilli e poi, il ventesimo, una strage: venti donne inferocite uccideranno i rispettivi mariti. Per capire la dinamica di questa tragedia, supponete che vi sia un solo marito infedele, il signor A. Tutte le donne del villaggio sanno già delle sue imprese extraconiugali tranne, ovviamente, la signora A; così quando la Madre fa il suo drammatico annuncio, la notizia è una novità solo per lei. Essendo per ipotesi una persona intelligente, la signora A si rende conto che se qualche altro marito si desse all'adulterio lei lo saprebbe. Conclude pertanto che il traditore è il signor A e lo spedisce all'altro mondo in giornata.

Supponete ora che i fedifraghi siano due, il signor A e il signor B. Tutte le donne sono al corrente delle loro scappatelle, tranne naturalmente le signore A e B: la signora A sa di B e la signora B sa di A. Dunque Mrs A non viene a sapere nulla di nuovo dall'annuncio della Madre, ma quando Mrs B omette di uccidere il marito in quello stesso giorno, ne desume che ci dev'essere un secondo marito infedele, che può essere solo Mr A. La stessa situazione si ripete per Mrs B, che desume l'infedeltà del proprio coniuge dal fatto che Mrs A non ha soppresso il marito il giorno stesso. Il giorno dopo le due signore fanno fuori i rispettivi consorti.

Se i mariti infedeli fossero tre, A, B e C, l'annuncio della Madre non produrrebbe alcun effetto visibile il primo o il secondo giorno; ma con un processo logico analogo a quello che abbiamo appena descritto, le signore A, B e C dedurrebbero dall'inazione delle altre due nei primi due giorni che anche i loro mariti se la spassano fuori dal talamo e li ucciderebbero il terzo giorno. In base a un processo d'induzione matematica possiamo concludere che se i mariti licenziosi sono venti, le loro intelligenti mogli riuscirebbero finalmente a provarne l'adulterio il ventesimo giorno: il giorno dell'inevitabile bagno di sangue.

[gianmaria]

Pechè venti giorni? La risposta sarebbe giusta se nel testo si dicesse che ogni donna deve agire entro un giorno, mentre si dice "seduta stante". Allora perchè non venti minuti, o secondi, o altro? Se rileggi il mio intervento, questa è la prima obiezione che ho fatto, rimandando ad un altro topic per il tuo ragionamento.

[herbrand]

Sì certo, potrebbero essere anche 20 nanosecondi...

[gianmaria]

Esatto, quindi…
Ognuna della 20 tradite ragionerà così: “Sono passati ben più di 20 nanosecondi e non è successo niente. Per quel ragionamento dovrebbero allora esserci più di 20 traditori e io so che questo è falso: quindi il ragionamento è sbagliato o non applicabile a questo caso; non posso basarmici. I mariti traditori potrebbero essere solo 19; le loro mogli non agiscono pensando che possono essere solo 18 e non ci sono certezze”. E’ quello che ho detto, forse poco chiaramente, nel mio primo intervento: in assenza di un preciso intervallo di tempo, non si può dire quanti di questi intervalli sono passati.

[esaurito]

Secondo me la conclusione è che dopo un certo tempo successivo alla rivelazione della Madre tutte le mogli tradite ammazzeranno contemporaneamente i propri mariti fedifraghi.

Supponiamo che il tempo che le donne impiegano per concludere se il marito sia fedifrago o meno sia pari a $ \epsilon $ e uguale per tutte.

Sia $ n $ il numero di mariti fedifraghi. Escludiamo dal ragionamento il caso $ n=1 $, in cui la moglie tradita uccide seduta stante il proprio marito, e per $ n>1 $ procediamo per induzione partendo dal caso $ n=2 $.

Vi sono $ n=2 $ mariti fedifraghi A e B
Mettiamoci nei panni della moglie di A: lei parte dal presupposto che suo marito non la tradisca e sa per certo che B è fedifrago quindi, sapendo dalla Madre che vi è almeno un marito fedifrago, si aspetta che sia B e quindi si aspetta che la moglie di B per esclusione seduta stante il marito B. Ma questo non avviene e quindi la moglie di A al tempo $ \epsilon $ ne deduce con certezza che anche il proprio marito è fedifrago e quindi lo ammazza.
La moglie di B ragiona per simmetria esattamente come la moglie di A e quindi ammazza il marito dopo il tempo $ \epsilon $.
La moglie di C (non fedifrago) al tempo $ 2\epsilon $ ha la certezza che il proprio marito non l'ha tradita.
Conclusione: le mogli tradite ammazzano i propri mariti al tempo $ \epsilon $.

Vi sono $ n=3 $ mariti fedifraghi A, B e C
Mettiamoci nei panni della moglie di A: lei parte dal presupposto che suo marito non la tradisca e sa per certo che B e C sono fedifraghi, quindi si aspetta per un ragionamento analogo a quello sopra che le mogli di B e C ammazzino i rispettivi mariti al tempo $ \epsilon] $.
Ma questo non avviene e quindi ammazza il proprio marito al tempo $ 2\epsilon $.
Le mogli di B e C ragionano per simmetria esattamente come la moglie di A e quindi ammazzano i rispettivi mariti al tempo $ 2\epsilon $.
La moglie di D (non fedifrago) al tempo $ 3\epsilon $ ha la certezza che il proprio marito non l'ha tradita.
Conclusione: le mogli tradite ammazzano i propri mariti al tempo $ 2\epsilon $.

[...]

Vi sono $ n=k $ mariti fedifraghi $ A_1, A_2, \dots, A_k $
Mettiamoci nei panni della moglie di A1: lei pensa che suo marito non la tradisca e sa per certo che i $ k-1 $ mariti $ A_2, \dots, A_k $ sono fedifraghi, quindi si aspetta che le mogli di $ A_2, \dots, A_k $ ammazzino i rispettivi mariti.
Ma questo non avviene e quindi ammazza il proprio marito al tempo $ (k-1)\epsilon $.
Le mogli di $ A_2, \dots, A_k $ ragionano per simmetria esattamente come la moglie di $ A_1 $ e quindi ammazzano i rispettivi mariti al tempo $ (k-1)\epsilon $.
La moglie di $ A_{k+1} $ (non fedifrago) al tempo $ k\epsilon $ ha la certezza che il proprio marito non l'ha tradita.
Conclusione: le mogli tradite ammazzano i propri mariti al tempo $ (k-1)\epsilon $.

Questo vale per $ k>1 $ qualunque, quindi anche per $ k = N $, nel caso specifico $ N = 20 $, da cui la conclusione: tutte le mogli tradite ammazzeranno contemporaneamente i propri mariti fedifraghi al tempo $ (N-1)\epsilon $, nel caso specifico al tempo $ 19\epsilon $.

[genius88]

nel caso n=3 non funziona il tuo ragionamento, visto che lo potrebbe fare anche una donna con il marito fedele. E sfigato (tale è visto che non tradisce sua moglie in una società in cui la scampa sempre )

[SkZ]

la moglie non tradita sa gia' che ci sono 3 traditori, quindi ucciderebbe il marito a $ ~ 3\epsilon $, come detto da esaurito. Dato che a $ ~ 2\epsilon $ c'e' la strage capisce che suo marito le e' fedele.
certo che per vivere in sti posti devi essere bravo il logica, ovvero tua moglie deve esserlo (se sei onesto)!

[esaurito]

la moglie non tradita sa gia' che ci sono 3 traditori, quindi ucciderebbe il marito a $ ~ 3\epsilon $, come detto da esaurito. Dato che a $ ~ 2\epsilon $ c'e' la strage capisce che suo marito le e' fedele.

Esatto, il mio ragionamento è proprio questo.
Per venire a capo del dilemma a mio avviso è necessario "discretizzare" il problema nel tempo (da qui l'introduzione di $ \epsilon $) altrimenti nel continuo diventa arduo determinare che il momento in cui la moglie capisce che il proprio marito le è fedele è successivo a quello in cui le mogli tradite uccidono i propri mariti fedifraghi.
Ecco perché questo problema andrebbe formulato più propriamente, come citato da qualcuno, dando alla moglie un giorno di tempo per capire se il proprio marito l'ha tradita con certezza o meno (in analogia al gioco dei lupi mannari). La strage in tal caso avverrebbe dopo il 19-esimo giorno (quindi il 20-esimo giorno, come correttamente scritto in un precedente post).

[SkZ]

nella formulazione che ricordo mi pare che si parlasse di notte o alba come momento per l'uccisione

[genius88]

in effetti se no il problema non ha senso se si ammettono diverse velocità di elaborazione delle idee tra le donne

[shuzz]

Non capisco il ragionamento che vi ha portato alle conclusioni sul passare di determinati cicli di elaborazione per uccidere i mariti.

Seguite il ragionamento.
Supponiamo che il numero di uomini che tradiscano la moglia sia n. Tutte le mogli che vengono tradite sono a conoscenza di n-1 tradimenti, le altre di n. Quindi quando le mogli tradite sentono che il numero dei tradimenti a loro conoscenza discorda con quello reale (di 1), capiscono subito che i loro mariti le tradiscono.

[SkZ]

Quindi quando le mogli tradite sentono che il numero dei tradimenti a loro conoscenza discorda con quello reale (di 1), capiscono subito che i loro mariti le tradiscono.

Se so che una donna e' tradita, non le diro' mai di quanti tradimenti sono a conoscenza perche' cio' le farebbe capire che e' tradita e questo non e' bello nella comunita'.

[shuzz]

Intendevo dire, quando le mogli tradite sentono dire dalla Madre, la cui sincerità è universalmente riconosciuta, il numero reale dei tradimenti, allora capiscono di essere state tradite.