Siano $ A_1,A_2,...,A_n $ i vertici di un n-agono regolare inscritto nella circonferenza unitaria. Se P è un punto di tale cfr, dimostrare che
$ PA_1^2+PA_2^2+...+PA_n^2 $ è costante.
Somma di quadrati costante
O = centro della circonferenza circoscritta; S = somma da calcolare.
Soluzione breve ma parziale
Se n è pari, detti $ A_i e A_k $ due punti diametralmente opposti, si ha $ PA_i^2+PA_k^2=4 $, e quindi $ S=4 \frac n2=2n $. Non saprei però estendere questo ragionamento al caso di n dispari.
Soluzione più lunga ma completa
Supponiamo P fra $ A_1 e A_n $ e poniamo $ \angle POA_1=\phi $ e $ \angle A_1OA_2=\alpha $; si ha
$ PA_k=2sin \frac{\phi+(k-1)\alpha}2 $(con k=1, 2, …., n)
$ PA_k^2 $=2{1-cos$ [\phi+(k-1)\alpha]} $}
Sommando le n formule dell’ultima riga si ha S=2(n-B) , essendo
$ B=cos\phi+cos(\phi+\alpha)+cos(\phi+2\alpha)+\ldots+cos[\phi+(n-1)\alpha] $
Considerando gli n vettori che vanno da O alle $ A_k $ , la loro somma è zero per le simmetrie della figura; vale quindi zero anche B, che è la somma delle loro proiezioni su OP. Ne consegue S=2n.
Soluzione breve ma parziale
Se n è pari, detti $ A_i e A_k $ due punti diametralmente opposti, si ha $ PA_i^2+PA_k^2=4 $, e quindi $ S=4 \frac n2=2n $. Non saprei però estendere questo ragionamento al caso di n dispari.
Soluzione più lunga ma completa
Supponiamo P fra $ A_1 e A_n $ e poniamo $ \angle POA_1=\phi $ e $ \angle A_1OA_2=\alpha $; si ha
$ PA_k=2sin \frac{\phi+(k-1)\alpha}2 $(con k=1, 2, …., n)
$ PA_k^2 $=2{1-cos$ [\phi+(k-1)\alpha]} $}
Sommando le n formule dell’ultima riga si ha S=2(n-B) , essendo
$ B=cos\phi+cos(\phi+\alpha)+cos(\phi+2\alpha)+\ldots+cos[\phi+(n-1)\alpha] $
Considerando gli n vettori che vanno da O alle $ A_k $ , la loro somma è zero per le simmetrie della figura; vale quindi zero anche B, che è la somma delle loro proiezioni su OP. Ne consegue S=2n.
Si fa anche con il trucchetto che per i complessi $ |z|^2=z\cdot z' $, dove z' è il coniugato di z.
Infatti, considerando i vertici dell'n-agono come le radici n-esime dell'unità $ z_1,z_2,...,z_n $ e indicando il punto P con il complesso w, si ha
$ \displaystyle S=PA_1^2+PA_2^2+...+PA_n^2=\sum_{i=1}^n|z_i-w|^2 $$ \displaystyle =\sum (z_i-w)(z_i'-w')=\sum(z_iz_i'-z_iw'-z_i'w+ww') $
ma $ \displaystyle \sum z_i=\sum z_i'=0 $ e dunque
$ \displaystyle S=\sum z_iz_i'+\sum ww'=\sum|z|^2+\sum|w|^2=2n $.
Infatti, considerando i vertici dell'n-agono come le radici n-esime dell'unità $ z_1,z_2,...,z_n $ e indicando il punto P con il complesso w, si ha
$ \displaystyle S=PA_1^2+PA_2^2+...+PA_n^2=\sum_{i=1}^n|z_i-w|^2 $$ \displaystyle =\sum (z_i-w)(z_i'-w')=\sum(z_iz_i'-z_iw'-z_i'w+ww') $
ma $ \displaystyle \sum z_i=\sum z_i'=0 $ e dunque
$ \displaystyle S=\sum z_iz_i'+\sum ww'=\sum|z|^2+\sum|w|^2=2n $.