proiezione costante

[sprmnt21]

Sia ABC un traingolo ed O il centro del cerchio circoscritto. Se D e' un punto su AO ed E un punto su AB sia F l'intersezione di c(AED) con AC. Provare che la proiezione ortogonale di EF su BC e' di lunghezza costante indipendentemente dalla scelta di E su AB.

[Leandro]

Suppongo ABC acutangolo ma penso che le considerazioni seguenti valgano anche nel caso generale (con qualche accorgimento).
Indichiamo con:
a,b,c gli angoli di ABC;AEF=x;H la proiezione ortogonale di F su EG (che e' la parallela per E a BC).
Dal triangolo AED si ha:
AE =AD*sin(a+x)/cos(b-x)
e da AEF:
EF=AE*sin(a)/sin(a+x)=AD*sin(a)/cos(b-x)
Pertanto dal triangolo rettangolo EFH si ricava:
EH=EF*cos(b-x)=AD*sin(a)
da cui si vede che EH dipende solo dalla posizione di D.
Leandro.

[sprmnt21]

e' possibile (almeno) una dimostrazione sintetica!

[Leandro]

Figuriamoci! Quasi,quasi questa mia schifosissima soluzione
la cancello!
Leandro

[sprmnt21]

Figuriamoci! Quasi,quasi questa mia schifosissima soluzione
la cancello!
Leandro

ma no .


la tua soluzione e' molto buona (volendo essere veloci e sicuri di giungere a meta, a volte la via migliore e' quella trigonometrica). Visto che non si tratta di una gara, volevo solo stimolare altri interventi.