Immaginiamo di scrivere tutti i numeri da 1 a n. Quante cifre ho scritto in totale?
Grazie
mah?sara giusto postarlo qui?
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stellacometa2003
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Composition86
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Provo io:
Se voglio scrivere i numeri da 1 a 9 (9 numeri), vorrà dire che avrò 1X9 cifre.
Se voglio scrivere i numeri da 10 a 99 (90 numeri), vorrà dire che avrò 2x90 cifre.
Il ragionamento si ripete per tutti gli n numeri.
Addizionando si avrà quindi:
$ \forall\:n \in \mathbb{N} $
$ 1*9*10^0+2*9*10^1+3*9*10^2+...+n*9*10^n^-^1 cifre $=
$ 9*(1*10^0+2*10^1+3*10^2+...+n*10^n^-^1) cifre $=
$ 9*\sum_{n=1}^{\infty}n*10^n^-^1 cifre $
Spero sia corretta (ed anche di non aver fatto casini con la simbologia).
Se voglio scrivere i numeri da 1 a 9 (9 numeri), vorrà dire che avrò 1X9 cifre.
Se voglio scrivere i numeri da 10 a 99 (90 numeri), vorrà dire che avrò 2x90 cifre.
Il ragionamento si ripete per tutti gli n numeri.
Addizionando si avrà quindi:
$ \forall\:n \in \mathbb{N} $
$ 1*9*10^0+2*9*10^1+3*9*10^2+...+n*9*10^n^-^1 cifre $=
$ 9*(1*10^0+2*10^1+3*10^2+...+n*10^n^-^1) cifre $=
$ 9*\sum_{n=1}^{\infty}n*10^n^-^1 cifre $
Spero sia corretta (ed anche di non aver fatto casini con la simbologia).
I soluzione (completamento e correzione di quella di Composition86)
Per dare un senso alla risposta di Composition86 occorre innanzi tutto, nel testo, sostituire n con N, numero avente n+1 cifre. La risposta finale è data dalla somma di A (cifre per scrivere i numeri di n+1 cifre fino ad N) e B (cifre per scrivere i precedenti). Il calcolo di A è molto facile e forse per questo è stato dimenticato: considerando compreso anche N, vi sono N+1-$ 10^n $ numeri, quindi A = (N+1-$ 10^n $)(n+1).
La risposta di Composition86 si riferisce al calcolo di B ed è corretta, salvo la scrittura dell’ultima formula (tutte le n vanno sostituite da k o altra lettera non ancora usata e al posto di infinito va scritto n), ma va completata calcolando la somma della penultima riga. Tralasciando per semplicità il fattore 9, questa può essere riscritta come
$ (1+10+...+10^{n-1})+10(1+10+...+10^{n-2}) $+... +$ 10^{n-2}(1+10)+10^{n-1} $
Usando poi la formula per la somma dei termini di una progressione geometrica non è difficile giungere a conclusione.
II soluzione
Per un agevole confronto fra la soluzioni, uso le lettere come indicato in corsivo nella prima soluzione.
Pensiamo di scrivere tutti i numeri da 0 a N compresi, premettendo ad essi gli zeri necessari per fare in modo che tutti abbiano n+1 cifre: otterrò N+1 numeri e quindi (N+1)(n+1) cifre; da queste debbo detrarre il numero degli zeri iniziali. Noto che vi sono $ 10^n $ zeri al primo posto, seguiti da $ 10^{n-1} $ zeri al secondo posto, eccetera, fino all’ultimo zero del numero 0: quindi il numero degli zeri iniziali è $ 10^n + 10^{n-1} +...+ 1 = \frac {10^{n+1}-1} 9 $. La soluzione finale è quindi ($ N+1)(n+1)-\frac {10^{n+1}- 1} 9 $
Per dare un senso alla risposta di Composition86 occorre innanzi tutto, nel testo, sostituire n con N, numero avente n+1 cifre. La risposta finale è data dalla somma di A (cifre per scrivere i numeri di n+1 cifre fino ad N) e B (cifre per scrivere i precedenti). Il calcolo di A è molto facile e forse per questo è stato dimenticato: considerando compreso anche N, vi sono N+1-$ 10^n $ numeri, quindi A = (N+1-$ 10^n $)(n+1).
La risposta di Composition86 si riferisce al calcolo di B ed è corretta, salvo la scrittura dell’ultima formula (tutte le n vanno sostituite da k o altra lettera non ancora usata e al posto di infinito va scritto n), ma va completata calcolando la somma della penultima riga. Tralasciando per semplicità il fattore 9, questa può essere riscritta come
$ (1+10+...+10^{n-1})+10(1+10+...+10^{n-2}) $+... +$ 10^{n-2}(1+10)+10^{n-1} $
Usando poi la formula per la somma dei termini di una progressione geometrica non è difficile giungere a conclusione.
II soluzione
Per un agevole confronto fra la soluzioni, uso le lettere come indicato in corsivo nella prima soluzione.
Pensiamo di scrivere tutti i numeri da 0 a N compresi, premettendo ad essi gli zeri necessari per fare in modo che tutti abbiano n+1 cifre: otterrò N+1 numeri e quindi (N+1)(n+1) cifre; da queste debbo detrarre il numero degli zeri iniziali. Noto che vi sono $ 10^n $ zeri al primo posto, seguiti da $ 10^{n-1} $ zeri al secondo posto, eccetera, fino all’ultimo zero del numero 0: quindi il numero degli zeri iniziali è $ 10^n + 10^{n-1} +...+ 1 = \frac {10^{n+1}-1} 9 $. La soluzione finale è quindi ($ N+1)(n+1)-\frac {10^{n+1}- 1} 9 $
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caratheodory
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Re: mah?sara giusto postarlo qui?
Non vorrei che fosse uno di quegli indovinelli autoreferenziali. :pblackdie ha scritto:Immaginiamo di scrivere tutti i numeri da 1 a n. Quante cifre ho scritto in totale?
Grazie
Hai in effetti dato a noi il compito di immaginare, ma la domanda è "quante cifre ho scritto" riferita a te. Quindi la risposta è 1.
Come sono simpatico
Ecco le prime buffe formule che ho scoperto.... ne sono fierissimo anche se sono inutili :D
[tex]\pi \simeq 10*(\sqrt{2} - 1) -1
e\pi(\pi+e) \simeq (\frac{10}{\sqrt2})^{2}
2*phi \simeq 1+ \sqrt{\frac{e\pi(e+\pi)}{10}}
[/tex]
[tex]\pi \simeq 10*(\sqrt{2} - 1) -1
e\pi(\pi+e) \simeq (\frac{10}{\sqrt2})^{2}
2*phi \simeq 1+ \sqrt{\frac{e\pi(e+\pi)}{10}}
[/tex]