I gara a squadre UNIMI- Quesito 1

[Boll]

Determinare tutti i polinomi $ P $ tali che

$ (P(x))^2+P(-x) = P(x^2)+P(x) $

per ogni numero reale $ x $

[enomis_costa88]

Lemma 1:
$ p(x)^2=p(x^2) $ ha come soluzione solo p(x)=0 oppure $ p(x)=x^{n} $

se deg p(x) >0
Sia$ p(x)= ax^n+g(x) $ con deg g(x)=m<n e n diverso da 0
Ottengo $ a^2x^{2n}+g(x)^2+2ax^ng(x) $ =$ ax^{2n}+g(x^2) $
Da cui $ a^2x^{2n} $ = $ ax^{2n} $ poiché sono gli unici termini di grado 2n
ma a non è 0 e quindi è 1.
Ora ho che :
$ g(x)^2+2ax^ng(x)=g(x^2) $ ma
deg $ g(x)^2=2m $
deg $ g(x^2) $= 2m
deg $ 2ax^ng(x) $=m+n>2m per cui
deg $ [g(x)^2+2ax^ng(x)]>deg[g(x^2)] $ e g(x)=0
quindi $ p(x)=x^n $
se deg p(x)=0 ottengo $ p(x)=1=x^0 $ o p(x)=0

Ora torno al problema..
Se p(x) non è pari:
sia p(x)= g(x)+h(x) con g pari e h dispari.
ottengo $ (p(x))^2=p(x^2)+2h(x) $
$ g(x)^2+h(x)^2+2g(x)h(x)=g(x^2)+h(x^2)+2h(x) $
inoltre $ g(x)^2 $ è pari.
$ h(x)^2 $ è pari.
$ g(x^2) $ è pari.
$ h(x^2) $ è pari.
2g(x)h(x) è dispari.
2h(x) è dispari.
da cui $ 2h(x)g(x)=2h(x) $ e g(x)=1
poiché sono gli unici termini dispari e h(x) non è 0.
quindi $ 1+h(x)^2+2h(x)=1+h(x^2)+2h(x) $
e $ h(x^2)=h(x)^2 $ e quindi $ h(x)=x^{2m+1} $ e $ p(x)=x^{2m+1}+1 $

Se p(x) è pari:
ottengo subito $ p(x)^2=p(x^2) $ per cui $ p(x)=x^{2m} $ o $ p(x)=0 $.

Ricordo che p(x) è pari se p(-x)=p(x);
p(x) è dispari se p(x)=-p(-x)

Buona serata. Simone

[Boll]

OK, enomis, mi torna tutto