E' noto che ogni spazio metrico separabile è pure numerabile di seconda specie, con riferimento alla topologia indotta dalla metrica. Del resto, ogni spazio metrico è pure normale. E allora ecco il domandone:
Sarà forse vero, più in generale, che ogni spazio normale e separabile è pure numerabile di seconda specie?
Divertitevi...
Topologia: normale + separabile => numerabile II specie
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Rispetto alla consueta topologia metrica, $ \mathbb{R} $ è uno spazio completamente normale. Dunque $ \mathbb{R}^\mathbb{R} $ è normale nella topologia del prodotto. D'altro canto, $ \mathbb{R}^\mathbb{R} $ è pure separabile, per via del teorema di Hewitt-Marczeski-Pondiczery. Tuttavia non è numerabile del primo tipo: questo si può dimostrare ammettendo per assurdo che la funzione identicamente nulla possieda una base locale numerabile di aperti, per quindi giungere a una contraddizione usando essenzialmente un argomento di tipo diagonale analogo a quello impiegato da Cantor per provare la non numerabilità dei reali.
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