Teoria degli insiemi
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Teoria degli insiemi
Premetto che mi accontento anche di una risposta intuitiva. Per chi volesse cimentarsi in una risposta rigorosa premetto che intendo tutti i concetti nel senso di Halmos in A naive set theory.
Esiste un insieme $ S $ tale che $ S=\{S\} $ cioé $ S \in S $ e allo stesso tempo $ S $ è l'unico elemento di $ S $?
Corretto il LaTeX. MindFlyer
Esiste un insieme $ S $ tale che $ S=\{S\} $ cioé $ S \in S $ e allo stesso tempo $ S $ è l'unico elemento di $ S $?
Corretto il LaTeX. MindFlyer
Vado a memoria e potrei scrivere stupidaggini. Ma mi pare che nelle teorie classiche ci sia qualcosa che vieti per l'appunto un caso del genere con un assioma (di buona fondazione, mi sembra...), che sostanzialmente vieta catene discendenti infinite di appartenenze.
Se c'è bisogno di un assioma, I guess, non sia possibile decidere se esiste o meno tale S nella teoria dei restanti assiomi.
Just my 1+ $ \varepsilon $ pennies...
Se c'è bisogno di un assioma, I guess, non sia possibile decidere se esiste o meno tale S nella teoria dei restanti assiomi.
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[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
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Confermo la risposta irreprensibile di Marco.
Per maggiori informazioni si veda QUESTA PAGINA.
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Re: Teoria degli insiemi
Avevo studiato un po' di teoria degli insiemi nell'ambito della prova automatica dei teoremi.publiosulpicio ha scritto:Premetto che mi accontento anche di una risposta intuitiva. Per chi volesse cimentarsi in una risposta rigorosa premetto che intendo tutti i concetti nel senso di Halmos in A naive set theory.
Esiste un insieme $ S $ tale che $ S=\{S\} $ cioé $ S \in S $ e allo stesso tempo $ S $ è l'unico elemento di $ S $?
Corretto il LaTeX. MindFlyer
Proverò a dimostrarlo.
Se per assurdo ciò fosse vero allora S apparterrebbe ad S.
Dal momento che S appartiene ad { S } si ha che:
S appartiene a { S } che interseca S.
Sfruttando l'assioma di regolarità si ha che { S } intersecato con x, per qualche x in { S }.
Ma x = S , dal momento che S è l'unico elemento di { S }.
Segue che { S } intersecato con S = insieme vuoto.
Ma prima avevamo dimostrato che S appartiene a { S } che interseca S.
E dunquew S appartiene all'insieme vuoto, che per definizione di insieme vuoto, è assurdo.
Ciò conclude la dimostrazione.
Ma avevo risposto a questo messaggio soprattutto per chiedervi se qualcuno mi potesse fornire buoni riferimenti a materiale in rete sui sistemi matematici e filosofici che rifiutano l'assioma di regolarità (e dunque dovrebbero permettere fatti come "A appartiene ad A", oppure "A appartiene a B e B appartiene a C e C appartiene ad A") come , mi sembra, quello di Quine (o forse mi sbaglio).
- HumanTorch
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Mmmh...se guardiamo alle partizioni di $ S $: constando $ S $ di un solo elemento, $ \mathfrak{P}_S $ avrà due elementi. Allora l'insieme S-elemento dovra avere anch'esso due sottoinsiemi. Ma l'insieme S-elemento dovrà contenere egli stesso un altro insieme elemento $ S'\equiv S $. Quindi avremo infiniti insiemi uguali l'uno dentro l'altro, il che può anche essere vero. E se lo guardassimo dal punto di vista geometrico in un sistema non euclideo? in modo che ci siano due insiemi che si contengano l'un l'altro? O sto sparando una marea di minchiate?
Da quello che avevo studiato non è possibile provare questo fatto senza l'assioma di regolarità, come dice anche marco.HumanTorch ha scritto:Mmmh...se guardiamo alle partizioni di $ S $: constando $ S $ di un solo elemento, $ \mathfrak{P}_S $ avrà due elementi. Allora l'insieme S-elemento dovra avere anch'esso due sottoinsiemi. Ma l'insieme S-elemento dovrà contenere egli stesso un altro insieme elemento $ S'\equiv S $. Quindi avremo infiniti insiemi uguali l'uno dentro l'altro, il che può anche essere vero. E se lo guardassimo dal punto di vista geometrico in un sistema non euclideo? in modo che ci siano due insiemi che si contengano l'un l'altro? O sto sparando una marea di minchiate?
Infatti, se tu potessi provarlo forse l'assioma di regolarità sarebbe provato dagli altri assiomi.
Inoltre se tu potessi provare il contrario dagli altri assiomi, l'aggiunta dell'assioma di regolarità produrrebbe una inconsistenza.
Ma la mia prova precedente è corretta, avevo mancato un "insieme vuoto" che ieri non riuscivo ad aggiungere ma questo forum non funziona sul mio computer, mi dice sempre (anche quando poi vedo che il post è stato inviato) "Debug mode ecc. ecc.".
- HumanTorch
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E' proprio quello che mi interessava.HumanTorch ha scritto:Infatti, parlavo di "insiemistica non euclidea", ovvero, in analogia con le geometrie non euclidee, privata di alcuni assiomi
Mi puoi consigliare del materiale in rete o dei libri da consigliarmi?
E nello specifico hai referenze al sistema di Quine che non contempla l'assioma di regolarità?
- HumanTorch
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Sepiacente, ma non so neanche se ci siano trattati o dispense sull'argomento, se qualcuno ne parli...comunque provo a cercareCUCU ha scritto: Mi puoi consigliare del materiale in rete o dei libri da consigliarmi?
E nello specifico hai referenze al sistema di Quine che non contempla l'assioma di regolarità?