TdN : Equazione "di Fermat" mod p

[mates]

Sia $ n $ un intero fissato e $ p $ un primo . Dimostrare, che per $ p $ sufficientemente grandi (cioè per tutti i $ p $ tranne al più un numero finito), l'equazione $ x^n + y^n = z^n $ ha una soluzione in $ \mathbb{Z}_p $ con $ x,y,z \neq 0 $

[HiTLeuLeR]

Sinceramente trovo sia impossibile da discutersi in questa sede, poi boooh... Magari qualcuno saprà smentirmi! In ogni caso, dico soltanto che questo risultato, noto come teorema di Schur, è conseguenza di alcuni fatti elementari, ma non troppo, della teoria combinatorica di Ramsey (di cui fu eccelso cultore il caro compianto Erdos, btw).

[Oblomov]

Due problemi:Z(p) é l'insieme dei numeri primi?
X,y e z possono(devono,che io sappia) essere non interi?
Saluti

[HiTLeuLeR]

Due risposte: i) $ \mathbb{Z}_p $ è l'insieme degli interi $ \bmod\;\! p $; ii) il fatto che l'equazione di Fermat non abbia soluzioni non banali in interi per ogni esponente naturale $ n > 2 $ (teorema di Wiles) non implica certo che non debba averne in $ \mathbb{Z}_p $.

[mates]

Probabilmente hai ragione HiTLeuLeR! E' un po' troppo difficile anche se ci è stato dato all'uni (faccio il primo anno) dopo solo 3 lezioni di Teoria dei Numeri in cui il professore ha introdotto le congruenze.
Se però cerchiamo di dimostrare la forma più debole del teorema cioè che dato $ n $ esistono infiniti primi per cui l'equazione è risolubile in $ \mathbb{Z}_p $ allora le cose si semplificano molto....
Qualcuno ci prova ?

[HiTLeuLeR]

Probabilmente hai ragione HiTLeuLeR! E' un po' troppo difficile [...]

Se avessi avuto torto, probabilmente qualcuno mi avrebbe già smentito... Sia come sia, adesso sto a lezione di idraulica. Magari più tardi (se mi gira giusto!) butto giù una soluzione. Prima una curiosità, però: chi lo tiene questo tuo corso di TdN, mates?

[HiTLeuLeR]

Se però cerchiamo di dimostrare la forma più debole del teorema cioè che dato $ n $ esistono infiniti primi per cui l'equazione è risolubile in $ \mathbb{Z}_p $ allora le cose si semplificano molto... Qualcuno ci prova ?

Messo in questi termini... è 'na strunzat! Ammettiamo infatti x = y e z = 1. Allora diviene pressoché evidente che l'equazione 2x^n \equiv 1 \bmod p è risolvibile in interi per infiniti p \in \mathfrak{P} (porre p_0 = 2 e quindi definire ricorsivamente p_{i+1} = \mbox{lpf}\left(2\prod_{p \leq p_i} p - 1\right), il prodotto essendo esteso a tutti e soli i primi di \mathbb{N} minori di o uguali a p_i ed \mbox{lpf}(\cdot) denotando il più piccolo divisore primo naturale dell'intero passato per argomento).