Disuguaglianze cicliche

[Franchifis]

Ciao, ho visto nella sezione di algebra che a volte fate ricorso a Cauchy-Swarz (non so come si scrive, non picchiatemi ). Mi spiegate di che si tratta? E che significa che una disuguaglianza è ciclica? A che ci serve saperlo? Inoltre ho visto che in questi casi ponete la somma delle variabili uguale a uno, cosa ci permette di farlo?

Forse ho esagerato con le domande...

[Simo_the_wolf]

La (MITICA, permettetemi un commentino soggettivo ) disuguaglianza di Cauchy-Schwarz recita così:
date due $ n $-uple di reali $ (a_1,a_2,a_3,...,a_n) $ e $ (b_1,b_2,b_3,...,b_n) $ allora vale la seguente disuguaglianza:

$ \displaystyle \left ( a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2 \right)\left ( b_1^2+b_2^2+b_3^2+...+b_n^2 \right) \geq $ $ \displaystyle \left ( a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+...+a_nb_n \right) ^2 $

Con uguaglianza se e solo se le due $ n $-uple sono una multipla dell'altra cioè se $ a_1=kb_1 $, $ a_2=kb_2 $,...., $ a_n=kb_n $.

Poi una disuguaglianza è ciclica se contiene solo espressioni cicliche. Una espressione ciclica è ad esempio in 3 variabili così:
$ f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b) $

Dove $ f(a,b,c) $ è una qualunque funzione. In pratica la prendi e sostituisci ciclicamente le variabili ("shiftando" tutto a destra o a sinistra). Una disuguaglianza ciclica può essere:

$ a^2b+b^2c+c^2a \geq 3abc $ (prova a risolverla!)

Poi, quando si pongono delle cose (ad esempio la somma, il prodotto ecc..) uguali a 1 lo si fa per semplificare i conti e si può fare solo se l'espressione è omogenea. Mi spiego: anzitutto una funzione è omogenea se è tale che $ f(ta_1,ta_2,ta_3,...ta_n)=t^kf(a_1,a_2,a_3,...a_n) $ per un $ k $ fissato e per ogni $ t $ (più o meno è così la definizione). Ora se abbiamo una diseguaglianza tale che, se portata tutta ad un membro, è una funzione omogenea allora avremmo che possiamo porre la somma uguale a 1 prendendo una $ n $-upla $ (b_1,b_2,...,b_n)=\frac 1{a_1+a_2+...+a_n} (a_1,a_2,...,a_n) $ in questo modo avremo che $ f(b_1,b_2,...b_n)=\frac 1{s^k} f(a_1,a_2,...a_n)\geq 0 $ avendo $ b_1+b_2+...+b_n=1 $. Ma la disuguaglianza è rimasta invariata in quanto abbiamo solo moltiplicato per una costante... spero si sia capito, non sono unp spiegatore nato...


Ah visto che ci sono... un esercizietto da farsi con Cauchy-Schwarz

[Oblomov]

Per Simo:interessante Cauchy-Schwarz,ma non mi é chiara la definizione di omogeneità,potresti fare un esempio più esplicito?Quanto all'esercizietto,ci proverò,ma basta la Cauchy?
Saluti
Ob

[Marco]

Su Cauchy-Schwartz non mi pronuncio. L'omogeneità è alla mia portata e metto becco. Un polinomio è omogeneo se ha tutti i termini dello stesso grado. Una disuguaglianza è omogenea se entrambi i membri sono polinomi omogenei dello stesso grado.

Notare che, estendendo la definizione alle funzioni [vuoto di memoria... come si chiamano? Razionali? Algebriche?]... beh, insomma, rapporto di polinomi, puoi avere anche lì un concetto di omogeneità.

Una funzione è omogenea di grado d sse

$ f(tx,ty,tz,\dots) = t^d f(x,y,z,\dots) $.

Per ogni t numero reale positivo.

Notare che ciò permette anche di definire funzioni di grado non intero.

[Simo_the_wolf]

Scusate ma nel post di prima non è entrata la disuguaglianza da farsi con Cauchy-Schwarz... la posto adesso (ps oblomov, la disuguaglianza dell'altro post è ciclica ma si può risolvere in tanti modi, non so forse anche con Cauchy-Schwarz... )

1) Siano $ x_1,...,x_n $ numeri reali e siano $ y_1,...y_n $ numeri reali non negativi. Sapendo che:

$ \displaystyle \frac {x_1\sqrt{y_1}+...+x_n\sqrt{y_n}}n =9 $
$ \displaystyle \frac {y_1+...+y_n}n =8 $

determinare il minimo valore per la media quadratica di $ x_1,...,x_n $

2) Dati $ a,b,c $ reali positivi dimostrare la disuguaglianza di Nesbitt, cioè la seguente:

$ \displaystyle \frac a{b+c} + \frac b{c+a} + \frac c{a+b} \geq \frac 32 $

3) Dati $ a,b,c,m,n $ reali positivi dimostrare la disuguaglianza di Nesbitt "generalizzata", cioè la seguente:

$ \displaystyle \frac a{mb+nc} + \frac b{mc+na} + \frac c{ma+nb} \geq \frac 3{m+n} $

4) Dati $ a,b,c,x,y,z $ reali positivi dimostrare:

$ \displaystyle \frac {a^2}x + \frac {b^2}y + \frac {c^2}z \geq \frac {(a+b+c)^2}{(x+y+z)} $

o più in generale:

$ \displaystyle \frac {a^{n+1}}{x^n} + \frac {b^{n+1}}{y^n} + \frac {c^{n+1}}{z^n} \geq \frac {(a+b+c)^{n+1}}{(x+y+z)^n} $

[luca88]

Cioè disuguaglianza ciclica equivale a dire simmetrica?

Grazie!

[Marco]

No. Se è simmetrica, allora è anche ciclica, ma non è detto il viceversa. Un'espressione è ciclica se non varia facendo ciclare le variabili (= la prima si sostituisce con la 2a, che si sostituisce con la 3a, ... che si sostituisce con l'ultima, che si sostituisce con la prima).

Invece per essere simmetrica, deve succedere che qualunque permutazione delle variabili lasci invariata l'espressione. (siccome le permutazioni sono più dei cicli, questa richiesta è più difficile da soddisfare).

Esempio in tre variabili:

$ x^2y + y^2z + z^2x $ è ciclica ma non simmetrica. (ad esempio, se scambio x con y, l'espressione varia). Invece:

$ x^2y + y^2z + z^2x + y^2x + z^2y + x^2z $ è simmetrica (e quindi anche ciclica).

[luca88]

No. Se è simmetrica, allora è anche ciclica, ma non è detto il viceversa. Un'espressione è ciclica se non varia facendo ciclare le variabili (= la prima si sostituisce con la 2a, che si sostituisce con la 3a, ... che si sostituisce con l'ultima, che si sostituisce con la prima).

Invece per essere simmetrica, deve succedere che qualunque permutazione delle variabili lasci invariata l'espressione. (siccome le permutazioni sono più dei cicli, questa richiesta è più difficile da soddisfare).

Esempio in tre variabili:

$ x^2y + y^2z + z^2x $ è ciclica ma non simmetrica. (ad esempio, se scambio x con y, l'espressione varia). Invece:

$ x^2y + y^2z + z^2x + y^2x + z^2y + x^2z $ è simmetrica (e quindi anche ciclica).

Grazie mille!

Un ultima cosa per favore!! Prendiamo una somma nelle variabili $ a,b,c $ per esempio, quand'è che posso supporre $ a+b+c=1 $ o altre normalizzazioni simili? Come deve essere la somma?
E quali sono i metodi comuni per "omogeneizzare" una somma? (Per esempio al fine di fare "bunching" dopo!)

Grazie ancora!

Ciau