proprietà della produttoria

[Goodgod]

Ho spostato il thread in algebra, visto che non è proprio una domanda da glossario
EG
Aggiunto il tex
Francesco
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chiedo scusa in anticipo se non scrivo correttamente.. non ho ancora il latex.
non esiste una proprietà della produttoria che mi permetta di semplificare una cosa del genere?

$ \displaystyle\prod_{x=1}^{\infty}(1+e^{-\frac{x}{k}}) $

l'indice della produttoria va da uno a infinito. L'incognita indicizzata è la x. K è un paramentro >0

grazie

[Catraga]

In che senso "semplificare" vuoi una funzione "semplice"?

[Catraga]

Spiacente, ma la produttoria non si semplifica, si puo' trasformare in una sommatoria di logaritmi e, dopo un paio di manipolazioni, in una somma di funzioni razionali. Quello che si ottiene sembra legato ad un sistema termodinamico statistico, ma non ha interpretazione fisica.

[elianto84]

Rinominando $ \displaystyle e^{\frac{1}{k}} $ come $ \displaystyle t $ hai

$ \displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}(1+t^{-n}) = \sum_{n=1}^{\infty} q(n)\, t^{-n} = \exp \left (-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^j}{j} \frac{1}{t^j-1} \right ) $

dove $ \displaystyle q(n) $ è il numero di modi di scrivere n come
somma di naturali ordinati e distinti.

[Oblomov]

Perbacco!
Mi sento un ignorante,ma vorrei sapere come si può calcolare q(n):elianto sembra parlare di una formula facile e non per tentativi(pur sempre con una sommatoria non sempilificabile,ma vabé).Come si fa?
Esiste una formula per ottenere c(n),cioé il numero di scomposizioni in interi consecutivi?
Scusate per la domanda poco pertinente.

[Simo_the_wolf]

Per la somma c(n), sapendo che la somma degli interi da k a n è:

$ \sum_{i=k}^{n} i = \sum_{i=1}^{n} i -\sum_{i=1}^{k-1} i = \frac {n(n+1)}2 - \frac {k(k-1)}2 $ $ = \frac 12 (n^2 - k^2 + n + k)= \frac 12 (n+k)(n-k+1) =n $

E quindi abbiamo che c(n) è uguale al numero di divisori dispari di $ n $. Infatti abbiamo che (n+k) e (n-k+1) devono avere diversa parità e quindi, dicendo che $ 2n=2^kd $ dove $ d $ è dispari, allora prendiamo un divisore di $ d $ (chiamiamolo $ d_1 $ ) e prendiamo la coppia $ (2^kd_1, d/d_1) $ e la poniamo uguale alla coppia $ (n+k,n-k+1) $ facendo attenzione a quale sia maggiore tra i due.

[Catraga]

Per quanto riguarda la formula rivata da elianto, esiste un metodo piu' semplice:
1) Faccio il logaritmo della produttoria, ottengo una sommatoria di logaritmi indiciata x.
2) Esprimo il logaritmo in serie di Tayolr (posso farlo dal punto di vista analitico, no problem) ottengo sommatoria indiciata in x di sommatoria indiciata in p.
3) Scambio le sommatorie, sommo su x. So farlo perche' e' una serie geometrica.
4) Faccio l'esponenziale del tutto, per invertire il logaritmo fatto al punto (1).
5) Mi compiacchio di aver ottenuto il risultato postato da elianto.