E' noto che ogni spazio topologico regolare e numerabile di seconda specie è pure uno spazio topologico normale. Ecco allora i problemi:
1. Esibire l'esempio di uno spazio topologico normale che non sia numerabile di seconda specie.
2. Esibire l'esempio di uno spazio topologico regolare e numerabile di prima specie che non sia anche normale.
Giusto per chiarezza, diciamo che uno spazio topologico $ (\mathcal{S}, \mathcal{O}) $ è
- regolare se è di Hausdorff e separa i punti dai chiusi;
- normale se è di Hausdorff e separa i chiusi dai chiusi;
- numerabile di I specie se, comunque scelto un punto $ p \in \mathcal{S} $, esiste una famiglia numerabile $ \{U_i\}_{i\in\mathbb{N}} $ di intorni del punto tale che, per ogni altro intorno $ U $ di $ p $, esista un qualche $ i \in \mathbb{N} $ per cui $ U_i \subseteq U $;
- numerabile di II specie se la topologia possiede una base numerabile (di aperti).
Topologia: regolarità e numerabilità vs normalità
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- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Hmmm per il primo....
Se prendiamo $ \mathbb{R} $ (ma dovrebe andare bene qualsiasi insieme di cardinalità più che numerabile) con la topologia discreta?
Se prendiamo $ \mathbb{R} $ (ma dovrebe andare bene qualsiasi insieme di cardinalità più che numerabile) con la topologia discreta?
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Membro: Club Nostalgici
Sono troppo scarso in italiano per usare parole con la c o la q...
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