x^2+ y^2 + 1 = xyz ==> z=3
x^2+ y^2 + 1 = xyz ==> z=3
Dimostrare che se $ x,y,z $ sono interi positivi che soddisfano $ x^2 + y^2 + 1 = xyz $ allora $ z=3 $.
- HarryPotter
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Soluzione...
Allova...
Con semplici passaggi algebici abbiamo:
$ x(yz-1)=y^2+1 $
Anallizzando modulo y abbiamo che:
$ x\equiv 1 \pmod{y} $
Pertando considerando l'equazione iniziale modulo y, abbiamo che:
$ 2 \equiv 0 \pmod{y} $
da cui $ y = 1 \mbox{ oppure } 2 $.
Se $ y=1 $ allora $ x^2+2=xyz $ e questo per lo stesso ragionamento di prima effettuato modulo x ci porta a dire che $ x = 1 \mbox{ oppure } 2 $.
Questi due casi ci portano a soluzioni dove $ z=3 $.
Se $ y=2 $ allora $ x^2+5=xyz $ e questo per lo stesso ragionamento di prima effettuato modulo x ci porta a dire che $ x = 1 \mbox{ oppure } 5 $.
Anche questi due casi portano alla soluzione $ z=3 $.
Sgopn.
P.S. Sono convinto che la soluzione di HiTLeuLeR fosse più bella!
Con semplici passaggi algebici abbiamo:
$ x(yz-1)=y^2+1 $
Anallizzando modulo y abbiamo che:
$ x\equiv 1 \pmod{y} $
Pertando considerando l'equazione iniziale modulo y, abbiamo che:
$ 2 \equiv 0 \pmod{y} $
da cui $ y = 1 \mbox{ oppure } 2 $.
Se $ y=1 $ allora $ x^2+2=xyz $ e questo per lo stesso ragionamento di prima effettuato modulo x ci porta a dire che $ x = 1 \mbox{ oppure } 2 $.
Questi due casi ci portano a soluzioni dove $ z=3 $.
Se $ y=2 $ allora $ x^2+5=xyz $ e questo per lo stesso ragionamento di prima effettuato modulo x ci porta a dire che $ x = 1 \mbox{ oppure } 5 $.
Anche questi due casi portano alla soluzione $ z=3 $.
Sgopn.
P.S. Sono convinto che la soluzione di HiTLeuLeR fosse più bella!
Re: Soluzione...
Ciao Claudio!!!
$ x(yz-x)=y^2+1 $
Mmh, a me risultaHarryPotter ha scritto:Allova...
Con semplici passaggi algebici abbiamo:
$ x(yz-1)=y^2+1 $
$ x(yz-x)=y^2+1 $
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