Definiamo la seguente funzione $ R\mapsto R $ : $ f(x)=1+\frac{1}{x} $
Definiamo ora per ricorsione la funzione $ a(n) $, $ N\mapsto R $:
$ a(0)=1 $
$ a(n)=f^{n}(a(n-1)) $
dove $ f^{n}(x) $ indica l'iterata n-esima di $ f(x) $.
Trovare
$ \displaystyle \lim_{n\mapsto +\infty}a(n)\displaystyle $
Ho messo l'esercizio in algebra e non in M.N.E. in quanto il limite in questione, una volta ricondotto in un'altra forma, risulta banale.Se poi i mods lo riterranno opportuno, lo potranno spostare in MNE.
Una funzione ed una ricorsione
Possiamo riscrivere $ a(n)=f^{n}(a(n-1)) $ come
$ a(n)=f^{n}(f^{n-1}(a(n-2)) $, e quindi con lo stesso criterio
$ a(n)=f^{n}(f^{n-1}(f^{n-2}(...(f^{2}(f(a(0))...)) $
Ora, poichè $ n\mapsto+\infty $, allora cerchiamo semplicemente di calcolare il limite $ \displaystyle\lim_{n\mapsto +\infty}(f^{n}(a(0)) $.
La funzione iterata si può scrivere nella frazione infinita
$ 1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{...}}}} $
Osserviamo che la frazione è la radice positiva dell'equazione di secondo grado
$ x^{2}=x+1 $ poichè, dividendo entrambi i membri per $ x $, si ottiene
$ x=1+\frac{1}{x} $
Quindi, risolvendo l'equazione di secondo grado, si ottiene che
$ \displaystyle\lim_{n\mapsto +\infty}(f^{n}(1))=\frac{\sqrt{5}+1}{2} $
$ a(n)=f^{n}(f^{n-1}(a(n-2)) $, e quindi con lo stesso criterio
$ a(n)=f^{n}(f^{n-1}(f^{n-2}(...(f^{2}(f(a(0))...)) $
Ora, poichè $ n\mapsto+\infty $, allora cerchiamo semplicemente di calcolare il limite $ \displaystyle\lim_{n\mapsto +\infty}(f^{n}(a(0)) $.
La funzione iterata si può scrivere nella frazione infinita
$ 1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{...}}}} $
Osserviamo che la frazione è la radice positiva dell'equazione di secondo grado
$ x^{2}=x+1 $ poichè, dividendo entrambi i membri per $ x $, si ottiene
$ x=1+\frac{1}{x} $
Quindi, risolvendo l'equazione di secondo grado, si ottiene che
$ \displaystyle\lim_{n\mapsto +\infty}(f^{n}(1))=\frac{\sqrt{5}+1}{2} $
ehm... mi metto a fare il puntiglioso...
nessuno ha dimostrato che quella scrittura abbia effettivamente un senso: mi spiego, in termini meno astratti. nessuno dice che quella cosa debba andare a "fermarsi" da qualche parte. voi avete solo dimostrato che, _se_ va a fermarsi da qualche parte (nei reali positivi), _allora_ quella cosa va a $ \phi $ (sezione aurea).
però a priori la cosa non è affatto ovvia: va bene il metodo utilizzato, a patto che vada giustificata l'esistenza.
tanto per dimostrare che quello che dico non è solo una sega mentale: consideriamo la "serie" $ 1-1+1-1... $. secondo la tua idea, si potrebbe scrivere questa "somma" $ S $ come soluzione dell'equazione $ S = 1-S $, che dà $ S = \frac12 $, ma anche come $ S = 1-1+S $, che dà qualunque valore...
o ancora: consideriamo $ S = 1+2+4+\cdots+2^n+\cdots $. saremmo tentati di scrivere $ S = 1+2S $, cioè $ S = -1 $, ma ci rendiamo conto che la cosa non ha troppo senso...
nessuno ha dimostrato che quella scrittura abbia effettivamente un senso: mi spiego, in termini meno astratti. nessuno dice che quella cosa debba andare a "fermarsi" da qualche parte. voi avete solo dimostrato che, _se_ va a fermarsi da qualche parte (nei reali positivi), _allora_ quella cosa va a $ \phi $ (sezione aurea).
però a priori la cosa non è affatto ovvia: va bene il metodo utilizzato, a patto che vada giustificata l'esistenza.
tanto per dimostrare che quello che dico non è solo una sega mentale: consideriamo la "serie" $ 1-1+1-1... $. secondo la tua idea, si potrebbe scrivere questa "somma" $ S $ come soluzione dell'equazione $ S = 1-S $, che dà $ S = \frac12 $, ma anche come $ S = 1-1+S $, che dà qualunque valore...
o ancora: consideriamo $ S = 1+2+4+\cdots+2^n+\cdots $. saremmo tentati di scrivere $ S = 1+2S $, cioè $ S = -1 $, ma ci rendiamo conto che la cosa non ha troppo senso...