accoppiamo i quadrati

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Asian Pacific Mathematical Olympiad, 1999
 
 Determinare tutte le coppie (a,b) di interi tali che a²+4b e b²+4a siano entrambi quadrati perfetti.
 
 [per gentile concessione di francescocaracciolo]

Kornholio · Messaggio da **Kornholio** » 01 gen 1970, 01:33

immagino si parlasse di interi positivi, ovvero
 dell\'insieme N[0]...
 affinchè a^2+4b e b^2+4a siano
 contemporaneamente quadrati devono
 essere soddisfatte le relazioni (con j,k in N[0])
 
 4b = 2ka + k^2
 4a = 2jb + j^2
 
 quindi k,j pari
 
 8a = 2jka + jk^2 + 2j^2
 
 dev\'essere quindi
 
 (8 - 2jk) | (jk^2 + 2j^2)
 
 il che può essere riscritto nella forma
 (in virtù del fatto che j e k devono essere pari)
 
 (4 - jk) | (j^2+2k)
 
 poichè il termine sx dev\'essere >0,
 si vede immediatamente che le uniche
 sol in N[0] sono
 
 j=1 k=1
 j=2 k=1
 
 ma in entrambi i casi j e k non sono
 contemporaneamente pari, contraddicendo
 l\'ipotesi iniziale. In N[0] il problema non ha
 quindi soluzioni.

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Io ho tradotto letteralmente il testo inglese (che riporto sotto) ed ovviamente per interi senza altra specificazione si intendono gli interi relativi, ovvero a,b devono appartenere a Z.
 
 \"Find all pair of integers a,b such tath a²+4b and b²+4a are squares\"[addsig]

Kornholio · Messaggio da **Kornholio** » 01 gen 1970, 01:33

Ok, come vuoi tu...
 
 Escludiamo innanzitutto [a=0,b=0]
 
 nel caso a e b siano di segno concorde il
 discorso di riallaccia a quello fatto in
 precedenza. Nel caso siano discordi si tratta
 di risolvere in N[0]
 
 a^2 - 4b = c^2
 b^2 + 4a = d^2
 
 Procediamo :
 
 b = (a^2 - c^2)/4 a=c mod2
 a = (d^2 - b^2)/4 d=b mod2
 
 (a^2 - c^2)^2 + 64a = (4d)^2
 
 a+c = 2e c=e-f
 a-c = 2f a=e+f
 
 (ef)^2 + 4(e+f) = d^2
 
 4s = (d-p)(d+p)
 
 esclusi i casi e=1,f=1,[e=2 AND f=2] si può affermare che p>s
 due numeri congruenti in modulo 2 il cui prodotto sia 4s
 hanno come differenza al massimo 2(s-1). Per essere uguali
 al prodotto (d-p)(d+p) dovrebbero avere come differenza
 2p, ma 2(s-1)<<2p. Le uniche soluzioni derivano quindi dai
 casi banali, e sono quindi tutte del tipo
 
 a=k+1 c=k-1
 b=k d=k+2
 
 con k in N[]
 
 Ora basta negativizzare a oppure b
 per avere una soluzione razionale
 del sistema di partenza.
 
 Soddisfatto ?

BlaisorBlade · Messaggio da **BlaisorBlade** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2001-08-19 01:40, Kornholio wrote:
 ...
 (8 - 2jk) | (jk^2 + 2j^2)
 il che può essere riscritto nella forma
 (in virtù del fatto che j e k devono essere pari)
 (4 - jk) | (j^2+2k)
 ...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Perché, scusa?? 2(4-jk) | (jk^2 + 2j^2), cioè
 4 - jk |(j²+jk²/2), ma da jk²/2 come arrivi a 2k?

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Tanto per dare uno spunto per riaprire la discussione, molto alla buona,proporrei una cosa del genere. Due numeri sono quadrati sse la loro differenza e\' esprimibile come prodotto della somma e differenza di altri due numeri.
 
 Notando che a^2+4b-(b^2+4a) = [(a-2)+(b-2)][(a-2)-(b-2)] = (a-2)^2 - (b-2)^2 si puo\' imporre che:
 
 a^2+4b = (a-2)^2 cioe\' a+b = 1 ;
 
 e (per conferma)
 
 b^2+4a = (b-2)^2 cioe\' a+b = 1.
 
 Il retrogusto di questa cosa non e\' del tutto definito, anche tenendo conto del fatto che da A^2-B^2 = C^2 - D^2 non necessariamente segue che A=C e B=D. Cosa ne pensate? C\'e\' del buono?
 
 Chi prova in maniera rigorosa che non ci sono altre soluzioni oltre a a quelle definite da a+b=1?