Razionalità canadese

[Simo_the_wolf]

Dimostrare che $ k $ è un numero razionale se e solo se la successione:

$ k, k+1, k+2... $

Contiene tre termini distinti che formano una progressione geometrica.

[Igor]

Per $ k=0 $ la tesi è banale, in quanto nella successione $ {0,1,2...} $ esistono sicuramente tre termini in progressione geometrica.

1)Se $ k $ è razionale, allora esistono tre termini della successione $ {k,k+1,...} $ che sono in progressione geometrica.

Se $ k\neq 0 $ allora possiamo porre $ k=\frac{a}{b} $, con $ a,b\in N $;$ a,b > 0 $.

Allora basta prendere i termini

$ \frac{a}{b};\frac{a}{b}+a;\frac{a}{b}+2a+ab $.

Infatti abbiamo che

$ (\frac{a}{b}+a)^2=(\frac{a}{b})(\frac{a}{b}+2a+ab) $

Inoltre, poichè $ a,b > 0 $, i tre termini sono sicuramente distinti.

2)Se $ k $ è irrazionale, allora non esistono tre termini della successione $ {k,k+1,...} $ che sono in progressione geometrica.

Dovremmo infatti trovare $ r,s,t\in N_0 $ tali che

$ (k+r)^2=(k+s)(k+t) $.

Svolgendo i conti ed esplicitando rispetto a $ k $ troviamo

$ k=\frac{st-r^2}{2r-s-t} $.

Poichè $ r,s,t $ sono interi, $ k $ è un numero razionale e questo conclude la dimostrazione.