Quadrati pari e dispari
Quadrati pari e dispari
Qualche intero positivo può essere scritto come somma di quattro quadrati dispari. Dimostrare che questi interi possono essere riscritti come somma di quattro quadrati pari.
Usando i cannoni: Se n è somma di 4 quadrati dispari, ognuno è congruo ad 1 (mod 4) e quindi n è divisibile per 4. Per il teorema dei quattro quadrati di Lagrange (il cannone...) tutti i numeri sono somma di 4 quadrati e, in particolare, esistono a, b, c, d interi tali che n/4 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 e, quindi, n = (2a)^2 + (2b)^2 + (2c)^2 + (2d)^2.
Immagino si possa fare anche senza "cannoni"...
Salvatore
Immagino si possa fare anche senza "cannoni"...
Salvatore
Siano $ a,b,c,d $ i dispari di partenza.
Osserviamo che
$ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = $ $ (\frac{a-b+c-d}{2})^2 + (\frac{a-b-c+d}{2})^2 + (\frac{a+b-c-d}{2})^2 + (\frac{a+b+c+d}{2})^2 $.Quindi,se $ a+b+c+d \equiv 0 mod 4 $,abbiamo la tesi.In caso contrario,si considerino i quattro dispari così ottenuti.Sommandoli si vede chiaramente che questi soddisfano la richiesta,poichè la loro somma è $ 4a $,e ripetendo il procedimento si ha la tesi.
Osserviamo che
$ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = $ $ (\frac{a-b+c-d}{2})^2 + (\frac{a-b-c+d}{2})^2 + (\frac{a+b-c-d}{2})^2 + (\frac{a+b+c+d}{2})^2 $.Quindi,se $ a+b+c+d \equiv 0 mod 4 $,abbiamo la tesi.In caso contrario,si considerino i quattro dispari così ottenuti.Sommandoli si vede chiaramente che questi soddisfano la richiesta,poichè la loro somma è $ 4a $,e ripetendo il procedimento si ha la tesi.
Ultima modifica di thematrix il 27 set 2005, 11:13, modificato 1 volta in totale.
Sunshine or rain, it's all the same, life isn't gray
oh Mary-Lou.
(Mary-Lou --- Sonata Arctica)
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