Dati $ x_1,x_2,\ldots,x_n $ reali positivi dimostrare che:
$ x_1^{n+1}+x_2^{n+1}+\cdots+x_n^{n+1}\geq x_1x_2 \cdots x_n(x_1+x_2+\cdots+x_n) $
da una gara canadese
Disuguaglianza
$ f(x_1,\dots,x_n)=\sum_{j=1}^n x_j^{n+1} - \prod_{j=1}^n x_j \sum_{j=1}^n x_j $
$ \text{vincolo } \sum_{j=1}^n x_j = K \quad \text{moltiplicatore }\lambda $
$ \forall i \, (n+1)x_i^n -2\prod_{j=1}^n x_j= \lambda $
E' proprio vero, le incognite sono tutte uguali.
$ \text{vincolo } \sum_{j=1}^n x_j = K \quad \text{moltiplicatore }\lambda $
$ \forall i \, (n+1)x_i^n -2\prod_{j=1}^n x_j= \lambda $
E' proprio vero, le incognite sono tutte uguali.
Ultima modifica di elianto84 il 26 set 2005, 12:57, modificato 1 volta in totale.
Jack alias elianto84 alias jack202
http://www.matemate.it IL SITO
.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -
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dividendo per n il membro di sinistra e quello di destra tra parentesi,otteniamo che la media n+1esima alla n+1 è >= della media geometrica alla n per la media aritmetica.Siccome la media n+1esima è maggiore di entrambe,si ha la tesi.In alternativa,si può risolvere semplicemente col bunching...
Sunshine or rain, it's all the same, life isn't gray
oh Mary-Lou.
(Mary-Lou --- Sonata Arctica)
oh Mary-Lou.
(Mary-Lou --- Sonata Arctica)
Rilancio con 2 disequazioni
a)Dati $ x_1,\ldots,x_n $ reali positivi dimostrare che:
$ (\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i)(\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^{n-1}) \leq n \displaystyle\prod_{i=1}^n x_i +(n-1)\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^n $
b)Dati $ a,b $ reali positivi dimostrare che:
$ \dfrac{(a+b)^2}{2}+\dfrac{(a+b)}{4}\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{a} $
e dire quando sussiste l'uguaglianza
a)Dati $ x_1,\ldots,x_n $ reali positivi dimostrare che:
$ (\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i)(\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^{n-1}) \leq n \displaystyle\prod_{i=1}^n x_i +(n-1)\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^n $
b)Dati $ a,b $ reali positivi dimostrare che:
$ \dfrac{(a+b)^2}{2}+\dfrac{(a+b)}{4}\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{a} $
e dire quando sussiste l'uguaglianza
Quando tanto e quando niente... Ovvìa, è il caso di farsi fuori qualcuno dei problemi di febiz, con l'augurio che questo non offra a qualcuno un movente per farsi fuori il sottoscritto... 
ii) Per ogni $ x, y\in \mathbb{R} $: $ x(1-x) \leq \dfrac{1}{4} $, e quindi $ x^2 + y^2 + \dfrac{1}{2} \geq x + y $, con uguaglianza sse $ x = y = 1/2 $.
iii) Da i) e ii): $ \dfrac{(a+b)^2}{2}+\dfrac{(a+b)}{4} \geq \sqrt{ab} \cdot \left(a+b+\dfrac{1}{2}\right) $ $ \geq \sqrt{ab} \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a\sqrt{b}+b\sqrt{a} $, q.e.d. In particolare, si ha uguaglianza sse $ \sqrt{a} = \sqrt{b} = 1/2 $, ovvero $ a = b = 1/4 $.
i) Per AM-GM: $ \dfrac{(a+b)^2}{2}+\dfrac{(a+b)}{4} = \dfrac{a+b}{2} \cdot \left(a+b+\dfrac{1}{2}\right) \geq \sqrt{ab} \cdot \left(a+b+\dfrac{1}{2}\right) $, con uguaglianza sse $ a = b $.febiz2004 ha scritto:b)Dati $ a,b $ reali positivi dimostrare che:
$ \dfrac{(a+b)^2}{2}+\dfrac{(a+b)}{4}\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{a} $
e dire quando sussiste l'uguaglianza
ii) Per ogni $ x, y\in \mathbb{R} $: $ x(1-x) \leq \dfrac{1}{4} $, e quindi $ x^2 + y^2 + \dfrac{1}{2} \geq x + y $, con uguaglianza sse $ x = y = 1/2 $.
iii) Da i) e ii): $ \dfrac{(a+b)^2}{2}+\dfrac{(a+b)}{4} \geq \sqrt{ab} \cdot \left(a+b+\dfrac{1}{2}\right) $ $ \geq \sqrt{ab} \cdot (\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a\sqrt{b}+b\sqrt{a} $, q.e.d. In particolare, si ha uguaglianza sse $ \sqrt{a} = \sqrt{b} = 1/2 $, ovvero $ a = b = 1/4 $.
Ultima modifica di HiTLeuLeR il 26 set 2005, 20:47, modificato 1 volta in totale.
Mi riferisco alla diseg. che Elianto ha risolto con i moltiplicatori.
Sia
$ x_1 \geq x_2.....\geq x_n $
si ha allora:
$ (x_i^n-x_j^n)(x_i-x_j)\geq 0 $ (con i<j)
ovvero per tutte le possibili coppie di i e j (sempre con i<j):
$ x_1^{n+1} +x_2^{n+1} \geq x_1^nx_2+x_1x_2^n $
$ x_1^{n+1} +x_3^{n+1} \geq x_1^nx_3+x_1x_3^n $
.................................................
$ x_1^{n+1} +x_n^{n+1} \geq x_1^nx_n+x_1x_n^n $
$ x_2^{n+1} +x_3^{n+1} \geq x_2^nx_3+x_2x_3^n $
$ x_2^{n+1} +x_4^{n+1} \geq x_2^nx_4+x_2x_4^n $
.................................................
$ x_2^{n+1} +x_n^{n+1} \geq x_2^nx_n+x_2x_n^n $
.................................................
$ x_{n-1}^{n+1} +x_n^{n+1} \geq x_{n-1}^nx_n+x_{n-1}x_n^n $
Sommando tutto si ha:
$ (n-1) \sum x_i^{n+1} \geq x_1^n(x_2+\dots+x_n)+x_2^n $ $ (x_1+x_3+\dots+x_n)+\dots+x_n^n(x_1+x_2+\dots+x_{n-1}) $
Ed addizionamdo ad ambo i membri la sommatoria $ \sum_1^n x_i^{n+1} $:
$ n(x_1^{n+1}+\dots+\dots+x_n^{n+1}) \geq $$ (x_1^n+\dots+x_n^n)(x_1+\dots+x_n) $
Da cui per AM-GM:
$ (x_1^{n+1}+\dots+x_n^{n+1}) \geq $$ (x_1* \dots* x_n)(x_1+\dots+x_n) $
Sia
$ x_1 \geq x_2.....\geq x_n $
si ha allora:
$ (x_i^n-x_j^n)(x_i-x_j)\geq 0 $ (con i<j)
ovvero per tutte le possibili coppie di i e j (sempre con i<j):
$ x_1^{n+1} +x_2^{n+1} \geq x_1^nx_2+x_1x_2^n $
$ x_1^{n+1} +x_3^{n+1} \geq x_1^nx_3+x_1x_3^n $
.................................................
$ x_1^{n+1} +x_n^{n+1} \geq x_1^nx_n+x_1x_n^n $
$ x_2^{n+1} +x_3^{n+1} \geq x_2^nx_3+x_2x_3^n $
$ x_2^{n+1} +x_4^{n+1} \geq x_2^nx_4+x_2x_4^n $
.................................................
$ x_2^{n+1} +x_n^{n+1} \geq x_2^nx_n+x_2x_n^n $
.................................................
$ x_{n-1}^{n+1} +x_n^{n+1} \geq x_{n-1}^nx_n+x_{n-1}x_n^n $
Sommando tutto si ha:
$ (n-1) \sum x_i^{n+1} \geq x_1^n(x_2+\dots+x_n)+x_2^n $ $ (x_1+x_3+\dots+x_n)+\dots+x_n^n(x_1+x_2+\dots+x_{n-1}) $
Ed addizionamdo ad ambo i membri la sommatoria $ \sum_1^n x_i^{n+1} $:
$ n(x_1^{n+1}+\dots+\dots+x_n^{n+1}) \geq $$ (x_1^n+\dots+x_n^n)(x_1+\dots+x_n) $
Da cui per AM-GM:
$ (x_1^{n+1}+\dots+x_n^{n+1}) \geq $$ (x_1* \dots* x_n)(x_1+\dots+x_n) $