Reticoli e punti invisibili

[HiTLeuLeR]

Siano $ n $ un intero $ > 1 $ ed $ S $ la famiglia di tutti e soli i sottoinsiemi di $ \mathbb{Z}^n $ dotati d'un numero finito di punti. Diciamo che ogni elemento di $ S $ è una figura reticolare, e che due figure reticolari $ F_1, F_2 \in S $ sono congruenti se esiste un movimento rigido dello spazio $ \mathbb{R}^n $ che porta $ F_1 $ in $ F_2 $. Per ogni $ F \in S $, denotiamo poi con $ [F] $ la classe di tutte e sole le figure reticolari congruenti ad $ F $. Ebbene...

Problema: mostrare che, per ogni $ F \in S $, esiste $ G \in [F] $ tale che $ G $ sia invisibile dall'origine.

Una figura reticolare si dice invisibile dall'origine se ogni suo punto è invisibile dall'origine. Un punto reticolare $ P \in \mathbb{Z}^n $ si dice invisibile dall'origine se esiste un altro punto reticolare $ Q \in \mathbb{Z}^n $, distinto da $ P $ e dall'origine, tale che $ P $ stia sul prolungamento del segmento $ OQ $ dalla parte di $ Q $.

Per la cronaca, il problema mi è stato proposto dal tanto caro quanto inutile metafisic. Dopo averlo risolto, lo rigiro di buon grado a voi altri perdigiorno!