Sia $ \alpha $ una radice reale dell'equazione $ x^3+2x^2+10x-20=0 $.
Dimostrare che $ \alpha^2 $ è irrazionale.
irrazionalità2
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Simo_the_wolf
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Aaaaaaalora...
$ \alpha=a $ per il $ \TeX $
$ a^3+2a^2+10x-20=0 $ implica $ a^2=-10+\dfrac{40}{a+2} $
Poniamo che $ a^2 $ sia razionale, allora lo sarebbe anche $ \dfrac{40}{a+2} $, quindi anche $ a $, dimostriamo ora che l'equazione non ha radici razionali.
La nostra radice razionale è $ \dfrac{m}{n} $ con $ m,n\in \mathbb{N} $
Avremo
$ m^3+2m^2n+10mn^2=20n^3 $
quindi $ m=2k $
$ 8k^3+8k^2n+20kn^2=20n^3 $
$ 2k^3+2k^2n+5kn^2=5n^3 $
Quindi si distinguono tre casi $ n=1 $ $ n=2 $ o $ k=jn $ avremo che generano le equazioni
$ 2k^3+2k^2+5k-5=0 $ (generata da prima e terza ipotesi) e
$ k^3+2k^2+10k-20=0 $ (generata dalla seconda)
cercando le soluzioni fra i divisori dei termini noti e applicando un paio di cose furbe per non farsi proprio tutti i casi si dovrebbe concludere (ammesso che tutto ciò sia corretto)
$ \alpha=a $ per il $ \TeX $
$ a^3+2a^2+10x-20=0 $ implica $ a^2=-10+\dfrac{40}{a+2} $
Poniamo che $ a^2 $ sia razionale, allora lo sarebbe anche $ \dfrac{40}{a+2} $, quindi anche $ a $, dimostriamo ora che l'equazione non ha radici razionali.
La nostra radice razionale è $ \dfrac{m}{n} $ con $ m,n\in \mathbb{N} $
Avremo
$ m^3+2m^2n+10mn^2=20n^3 $
quindi $ m=2k $
$ 8k^3+8k^2n+20kn^2=20n^3 $
$ 2k^3+2k^2n+5kn^2=5n^3 $
Quindi si distinguono tre casi $ n=1 $ $ n=2 $ o $ k=jn $ avremo che generano le equazioni
$ 2k^3+2k^2+5k-5=0 $ (generata da prima e terza ipotesi) e
$ k^3+2k^2+10k-20=0 $ (generata dalla seconda)
cercando le soluzioni fra i divisori dei termini noti e applicando un paio di cose furbe per non farsi proprio tutti i casi si dovrebbe concludere (ammesso che tutto ciò sia corretto)
Hmm non ti sei chiesto perchè l'ultima equazione in k è la stessa del testo?
Se stai cercando le soluzioni razionali di $ p(x)=a_nx^n+\ldots+a_0 $ con $ a_n\ldost, a_0 $ interi, queste saranno della forma $ \pm p/q $ con $ p|a_0 $ e $ q|a_n $.
Quindi puoi operare le "noiose verifiche" non appena arrivi a dire che $ \alpha $ deve essere razionale.
Se stai cercando le soluzioni razionali di $ p(x)=a_nx^n+\ldots+a_0 $ con $ a_n\ldost, a_0 $ interi, queste saranno della forma $ \pm p/q $ con $ p|a_0 $ e $ q|a_n $.
Quindi puoi operare le "noiose verifiche" non appena arrivi a dire che $ \alpha $ deve essere razionale.