1/a+1/b=1/c

[Simo_the_wolf]

Siano $ a,b,c $ interi positivi tali che:
$ \displaystyle \frac 1a + \frac 1b = \frac 1c $

Dimostrare che $ \displaystyle \frac {a+b}{mcd(a,b,c)} $ è un quadrato perfetto.

[ReKaio]

trovare tutte le soluzioni in interi e sostituire brutalmente è troppo?

[EvaristeG]

Come già sto facendo in geometria, chiederei anche qui che i "più grandi" (leggasi ormai in possesso di diploma di maturità) lascino i problemi nuovi ai ragazzi ancora alle superiori, in modo che possano servire da allenamento, tranne nel caso che il problema sia di un livello molto alto.

Grazie.

[eLwo06]

con $ (x_1,...,x_n) $ indicherò il mcm di $ x_1, ..., x_n $

alor, poniamo $ x=M.C.D.(a,b) $ e $ a=a'x, b=b'x $, allora $ \frac{1}{a'x}+\frac{1}{b'x}=\frac{1}{c} $ implica $ c=\frac{a'b'x}{a'+b'} $
ora $ \frac{(a'+b')x}{M.C.D(a'x,b'x,c)}=\frac{(a'+b')x(xa',xb')(xb',c)(xa',c)}{x^2a'b'c(a'x,b'x,c)}= $$ \frac{(a'+b')x(a',b')(xb',c)(xa',c)}{xa'b'c(a'x,b'x,c)}= $
$ =\frac{(a'+b')(xb',c)(xa',c)}{c(a'x,b'x,c)}=\frac{(a'+b')(xb',c)(xa',c)}{\frac{a'b'x}{a'+b'}(a'x,b'x,c)} $ $ = (a'+b')^2\frac{(xb',a'b'\frac{x}{a'+b'})(xa',a'b'\frac{x}{a'+b'})}{a'b'x(a'x,b'x,a'b'\frac{x}{a'+b'})} $
e dato che $ M.C.D.(a'b',a'+b')=1 $ l'ultima espressione diviene $ (a'+b')^2\frac{(a'b'x)^2}{(a'b'x)^2}=(a'+b')^2 $
ovvero $ \frac{a+b}{M.C.D.(a,b,c)}=(\frac{a+b}{M.C.D(a,b)})^2 $

ci sono soluzioni più carine, ed è per ora confermato che con questa ho massimizzato l'uso del $ \LaTeX $
i've never said you'll have to be afraid of the cookie monster beside your bed
Ed:correzioni...simbologiche...

[Simo_the_wolf]

La tua soluzione è ottima eLwo06, ma, per favore potresti usare diverse notazioni per nominare diverse cose? (tipo, dopo che hai detto $ mcd(a,b)=x $ rinomini $ a=xa' $ e $ b=xb' $)

Poi, puoi spiegare la tua "magica" sostituzione $ mcd(x,y,z)=\frac {xyz*mcm(x,y,z)}{mcm(x,y)mcm(y,z)mcm(x,z)} $ ?

[HiTLeuLeR]

Wlog, ammettiamo $ \gcd(a,b,c) = 1 $. Si tratta allora di dimostrare che $ a+b $ è un quadrato perfetto. Risulta $ \displaystyle a+b = ab/c $. Dunque $ c \mid ab $. Poniamo $ h = \gcd(a,c) $ e $ k = c/h $. Ovviamente $ h\mid a $ e $ \gcd(a,k) = 1 $. Pertanto $ k\mid b $, ed esistono $ x,y\in\mathbb{N}_0 $ tali che $ a = hx $ e $ b = ky $. Ne viene che $ a+b = hx+ky = xy $. Ebbene, fissato $ p\in\mathfrak{P} $, siano $ m = v_p(x) $ ed $ n = v_p(y) $. Risulta $ ky \equiv 0 \bmod p^m $, da cui $ m \leq n $, siccome $ \gcd(k,p) = 1 $. Indi (per simmetria) $ n\leq m $, e quindi $ m = n $. Ne segue che, per ogni $ p\in\mathfrak{P} $: $ v_p(xy) \equiv 0 \bmod 2 $. Da qui la tesi, ché $ uv = a+b $.

[eLwo06]

(magico è solo CAUCHY-SHWARTZ).
usando la notazione english-style di LeLe,
$ \displaystyle gcd(x_1,...,x_n)\prod_{j=1}^n{\prod_{1\le i_1 <...<i_j \le{n}}lcm(x_{i_{1}},...,x_{i_{j}})^{(-1)^{j}}}=1 $
ma devo andare al budokan... comunque in breve, ordinando gli esponenti dei numeri primi in cui si fattorizzano $ x_1,...,x_n $, l'enunciato sopra corrisponde a dimostrare che qualsiasi intero positivo $ j<n $ si ha $ \displaystyle \sum_{j=0}^k(-1)^j\binom{k}{j}=0 $

[Boll]

Provo a postare la mia, senza sostituzioni magiche e valutazioni p-adiche... (fa anche rima!), dovrebbe, se giusta (Simo deciderà in merito), essere comprensibile a chiunque legga e non abbia tutto questo bagaglio di formule, quindi la posto anche se di questo problema di sono già 2 soluzioni. Tutte le variabili introdotte sono interi positivi

$ (x_1,x_2,\dots,x_n) $ è il massimo comun divisore di $ x_1,x_2,\dots,x_n $

$ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c} $ (1)

$ (a,b,c)x=a $
$ (a,b,c)y=b $
$ (a,b,c)z=c $

$ (x,y,z)=1 $ quindi $ ((x,y),z)=1 $

sostituendo nella (1)

$ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{z} $ (2)

$ (x,y)m=x $
$ (x,y)n=y $

$ (m,n)=1 $ quindi $ (m+n,mn)=1 $

sostituendo nella (2)

$ (x,y)mn=(m+n)z $

E' chiaro che tutti i fattori di $ m+n $ presenti a sinsitra dovranno essere in $ (x,y) $, poichè $ m+n $ e $ mn $ sono coprimi e che tutti i fattori di $ (x,y) $ presenti a destra dovranno essere in $ m+n $ poichè $ (x,y) $ e $ z $ sono coprimi, quindi:

$ (m+n)|(x,y) $ e $ (x,y)|(m+n) $ cioè

$ (x,y)=m+n $

riscrivendo tutto in $ f(x,y,z) $

$ x+y=(x,y)^2 $

riscrivendo tutto in $ f(a,b,c) $

$ \dfrac{a}{(a,b,c)}+\dfrac{b}{(a,b,c)}=\left(\dfrac{a}{(a,b,c)},\dfrac{b}{(a,b,c)}\right)^2 $

cioè la tesi, se vogliamo fare i fighi riscriviamo come

$ \dfrac{a+b}{(a,b,c)}=\left(\dfrac{(a,b)}{(a,b,c)}\right)^2 $

Se qualcosa non è chiaro non esitate a chiedere!!!!!

[Simo_the_wolf]

Ok, avete fatto tutto giusto. Complimenti a tutti quanti! Risolto in addirittura 3 modi diversi! WOW!!