Cerchi, cerchi, cerchi

[Boll]

Siano $ C_1 $ e $ C_2 $ due circonferenze di raggio 1 che tangono nel centro di una circonferenza $ C $ di raggio 2. $ C_3 $ è una circonferenza interna al cerchio di $ C $ che tange $ C,C_1,C_2 $. $ C_4 $ è una circonferenza interna al cerchio di $ C $ che tange $ C,C_1,C_3 $. Provare che in centri delle circonferenza $ C,C_1,C_3,C_4 $ formano un rettangolo.

[phi]

Siano $ O $, $ O_1 $, $ O_2 $, $ O_3 $, $ O_4 $ rispettivamente i centri di $ C,C_1,C_2,C_3,C_4 $. Abbiamo $ O_1O_2O_3 $ isoscele con $ O_3O $ mediana, che quindi è anche altezza: $ O_1OO_3=90° $. Sappiamo che r1=r/2=1; applicando il teorema di Pitagora al triangolo $ OO_1O_3 $ risulta che (2-r3)^2+1=(1+r3)^2, da cui r3=2/3. Sia ora K un punto tale che $ O_1OO_3K $ sia un rettangolo. Siano P e Q le intersezioni di $ KO_1 $ con $ C1 $ e $ KO_3 $ con $ C_3 $. Ricaviamo per differenza che KP=(2-2/3)-1=1/3 e KQ=1-2/3=1/3. Inoltre, detta S l'intersezione tra OK e C, KS=2-OK=1/3. Dunque K è centro di una circonferenza per P,Q,S, tangente a C, C1, C3. Ma tale circonferenza non può che essere C4. Perciò $ OO_1O_4O_3 $ è un rettangolo.