L'uguaglianza è una malattia contagiosa
L'uguaglianza è una malattia contagiosa
Sia ABC un triangolo, tracciamo per C la retta L parallela a BA; conduciamo la bisettrice di A ad incontrare BC in D e L in E e la bisettrice di B ad incontrare AC in F e L in G. Dimostrare che GF=ED implica CA=CB.
Premetto che se un triangolo ha due lati diseguali allora
sul lato maggiore (minore) cade la bisettrice minore (maggiore).
Infatti (vedi fig1) sia BAC>ABC (e quindi BC>AC)
e siano BF e AD le bisettrici.Poiche' e' FAD>FBD esiste su BF
un punto P tale che risulti PAD=PBD.Ne segue che i quattro punti
A,B,D,P sono conciclici e poiche' in una circonferenza ad angolo
alla circonferenza maggiore (minore) si oppone corda maggiore (minore)
sara' AD<BP<BF c.d.d.
Questo procedimento permette di dimostrare velocemente l'arcinoto
problema il quale afferma che se in un triangolo due bisettrici
sono congruenti allora lo sono pure i lati su cui esse cadono.
Infatti se tali lati non fossero congruenti per quanto precede
non lo sarebbero neanche le bisettrici relative,contro l'ipotesi.
Veniamo ora al nostro problema.
Gli angoli segnati in fig2 con lo stesso simbolo sono congruenti
e pertanto:CG=BC ,CE=AC.
Dalla similitudine dei triangoli CFG e ABF si ha:
CG:GF=AB:BF da cui GF=BC*BF/AB
Analogamente dalla similitudine dei triangoli CDE e ABD si ha:
CE:DE=AB:AD da cui DE=AC*AD/AB
Se quindi e' GF=DE sara' pure :1) BC/AC=AD/BF
Ora ,per quanto premesso,se fosse BC>AC sarebbe AD<BF e se fosse
BC<AC sarebbe AD>BF e in entrambi i casi la (1) risulterebbe impossibile.
In conclusione deve aversi BC=AC.
Ultima modifica di karl il 22 ago 2005, 21:33, modificato 1 volta in totale.
Ho dovuto chiedere aiuto ( spero che non sia vietato!) per la prima parte della mia risposta: vedi topic "Intersezioni con le bisettrici", in cui MindFlyer ha dimostrato il teorema "Se in un triangolo due angoli sono diversi, le loro bisettrici incontrano i lati opposti in due punti di cui quello che sta sulla bisettrice dell’angolo maggiore dista maggiormente dal lato comune ai due angoli." Usandolo, la risposta è facile.
Neghiamo la tesi, supponendo che sia BC>AC; sarà anche CAB =2x > CBA =2y. Per il parallelismo di GE e AB si ha CGF =y e CED =x. Da F tracciamo la parallela ad AE, che incontra GE in L; si ha CLF =x. Dette R e S le proiezioni di D e F su GE, i triangoli FLS e DER sono simili; in conseguenza del precedente teorema è FS>DR, quindi FL>DE. Considerando il triangolo FGL, poiché ad angolo maggiore sta opposto lato maggiore, si ha GF >FL. Quindi GF>DE, contro all’ipotesi.
Neghiamo la tesi, supponendo che sia BC>AC; sarà anche CAB =2x > CBA =2y. Per il parallelismo di GE e AB si ha CGF =y e CED =x. Da F tracciamo la parallela ad AE, che incontra GE in L; si ha CLF =x. Dette R e S le proiezioni di D e F su GE, i triangoli FLS e DER sono simili; in conseguenza del precedente teorema è FS>DR, quindi FL>DE. Considerando il triangolo FGL, poiché ad angolo maggiore sta opposto lato maggiore, si ha GF >FL. Quindi GF>DE, contro all’ipotesi.