Find all solutions to $ \displaystyle n! = a! + b! + c! $ .
Traduzione:
Trovare tutte le soluzioni a $ \displaystyle n! = a! + b! + c! $.
Bye,
#Poliwhirl#
CanMO 1983
Siano $ a,b,c,n\in\mathbb{N} $ tali che $ a! + b! + c! = n! $. Viste le simmetrie del problema, possiamo supporre in prima istanza $ a \leq b \leq c $, e permutare poi ogni eventuale quaterna di soluzioni così ottenuta, per ricavare infine l'insieme di *tutte* le soluzioni possibili. Naturalmente $ n \geq 3 $, siccome $ a! + b! + c! \geq 3 > 2! $. Inoltre $ n \geq c+1 $, poiché $ n! = a! + b! + c! \geq 2 + c! $. Dunque a forza $ n = 3 $. Ammettendo infatti $ n \geq 4 $, si troverebbe $ a! + b! + c! \leq 3c! < 4c! \leq (c+1)! \leq n! $, assurdo! Si è così ricondotti a risolvere in interi non negativi l'equazione $ 6 = a! + b! + c! $, con $ a \leq b \leq c $. Chiaramente perciò $ c \leq 2 $. Orbene, se $ a! = b! $ oppure $ b! = c! $, allora (e rispettivamente nei due casi) $ c! \equiv 0 \bmod 2 $ ed $ a! \equiv 0 \bmod 2 $, donde comunque $ a = b = c = 2 $. D'altra parte, per il principio dei cassetti, non può accadere che $ a!\, $, $ b! $ e $ c! $ assumano tutti valori distinti, siccome $ 0 \leq a \leq b \leq c \leq 2 $, e pertanto $ a!, b!, c! \in \{1,2\} $. Da qui la conclusione che l'unica soluzione all'equazione proposta risulta di fatto espressa dalla $ 4 $-upla $ (a,b,c,n) = (2,2,2,3) $.