trovare le soluzioni in interi alla diofantea
$ a!+b!+c!=2^n $
a!+b!+c!=2^n soluzioni intere **gli irlandesi spopolano**
Immagino che gli interi in questione abbiano ad assumersi non negativi... Orbene, chiaramente dev'essere $ n \geq 2 $, poiché $ a! + b! + c! \geq 3 $, per ogni $ a, b, c\in \mathbb{N} $. Inoltre non può ammettersi $ a! = b! = c! $, ché altrimenti si avrebbe $ 2^n \equiv 0 \bmod 3 $, assurdo! Viste le simmetrie del problema, possiamo dunque ammettere in prima istanza $ a \leq b \leq c $, e permutare poi ogni eventuale quaterna di soluzioni così ottenuta, per ricavare infine l'insieme $ \mathcal{T} $ di *tutte* le soluzioni possibili. S'impone di conseguenza $ a \leq 2 $, ché in caso contrario $ 0 \equiv 2^n \bmod 3 $, ancora assurdo! Dunque a forza $ a! = 1 $ oppure $ a! = 2 $.
i) Se $ a! = 1 $, si tratta di risolvere nei naturali l'equazione $ 1 + b! + c! = 2^n $, con $ n \geq 2 $ e $ a \leq b \leq c $. Se $ b \geq 2 $, l'uguaglianza è ovviamente impossibile, poiché si avrebbe $ 1 \equiv 0 \bmod 2 $. Pertanto $ a! = b! = 1 $, e di conseguenza (visto quanto stabilito in precedenza) $ c \geq 2 $. Senonché supporre $ c \geq 4 $ porta a concludere $ 2 \equiv 0 \bmod 4 $, che è assurdo! Dunque necessariamente $ a! = b! = 1 $ e $ c \in \{2, 3\} $. E siccome $ 1! + 1! + 2! = 2^2 $ e $ 1! + 1! + 3! = 2^3 $, se ne deduce che un primo blocco di soluzioni è espresso dalle quaterne intere $ (a,b,c,n) $ dell'insieme $ S_1 = \{(0,0,2,2), (0,1,2,2),(1,1,2,2), $ $ (0,0,3,3), (0,1,3,3),(1,1,3,3)\} $.
ii) Se $ a! = 2 $, si è condotti analogamente a risolvere l'equazione $ 2! + b! + c! = 2^n $, con $ 2 \leq b \leq c $. Banalmente si vuole $ n \geq 4 $, in quanto $ 2 + b! + c! > 2 + 2 + 2 = 6 $, poiché $ a, b, c $ non possono essere contemporaneamente uguali, come già osservato, e e quindi a un tempo tutti pari a $ 2 $. Indi deve anche ammettersi $ b < 4 $, ché diversamente $ 2 \equiv 0 \bmod 8 $, assurdo! Pertanto $ b = 2 $ oppure $ b = 3 $, e in entrambi i casi $ c \geq 3 $. Tuttavia, se $ b = 2 $, allora $ 4 + c! = 2^n $, il che è impossibile! Ne seguiterebbe infatti $ 4 \equiv 0 \bmod 2^3 $, per $ c \geq 4 $; e $ 10 = 2^n $, per $ c = 3 $. Ergo $ b = 3 $, e quindi $ 8 + c! = 2^n $. Da qui e dal precedente $ 3 \leq c \leq 6 $, pena dedurne $ 8 \equiv 0 \bmod 2^4 $ (assurdo!). Ora $ 8 + 3! = 2 \cdot 7 $; $ 8 + 4! = 2^5 $ e $ 8 + 5! = 2^7 $, onde concluderne che un secondo blocco di soluzioni è definito da tutte le $ 4 $-uple $ (a,b,c,n) $ di interi dell'insieme $ \mathcal{S}_2 = \{(2, 3,4,5), (2,3,5,7)\} $.
A questo punto, posto $ \mathcal{S} = \mathcal{S}_1 \cup \mathcal{S}_2 $ e detto $ \mathfrak{S} $ l'insieme di tutte le permutazioni del quarto ordine, si deduce finalmente che le soluzioni in interi non negativi all'equazione proposta appartengono tutte e sole all'insieme $ \mathcal{T} = \{(a,b,c,n): (a,b,c,n) \in \sigma(\mathcal{S}), \forall \sigma(\cdot) \in \mathfrak{S}\mbox{ t.c. }\sigma(n) = n\} $. Ovviamente non potete pretendere ch'io descriva in forma estensiva quest'orrido insieme...
EDIT: ooops...
i) Se $ a! = 1 $, si tratta di risolvere nei naturali l'equazione $ 1 + b! + c! = 2^n $, con $ n \geq 2 $ e $ a \leq b \leq c $. Se $ b \geq 2 $, l'uguaglianza è ovviamente impossibile, poiché si avrebbe $ 1 \equiv 0 \bmod 2 $. Pertanto $ a! = b! = 1 $, e di conseguenza (visto quanto stabilito in precedenza) $ c \geq 2 $. Senonché supporre $ c \geq 4 $ porta a concludere $ 2 \equiv 0 \bmod 4 $, che è assurdo! Dunque necessariamente $ a! = b! = 1 $ e $ c \in \{2, 3\} $. E siccome $ 1! + 1! + 2! = 2^2 $ e $ 1! + 1! + 3! = 2^3 $, se ne deduce che un primo blocco di soluzioni è espresso dalle quaterne intere $ (a,b,c,n) $ dell'insieme $ S_1 = \{(0,0,2,2), (0,1,2,2),(1,1,2,2), $ $ (0,0,3,3), (0,1,3,3),(1,1,3,3)\} $.
ii) Se $ a! = 2 $, si è condotti analogamente a risolvere l'equazione $ 2! + b! + c! = 2^n $, con $ 2 \leq b \leq c $. Banalmente si vuole $ n \geq 4 $, in quanto $ 2 + b! + c! > 2 + 2 + 2 = 6 $, poiché $ a, b, c $ non possono essere contemporaneamente uguali, come già osservato, e e quindi a un tempo tutti pari a $ 2 $. Indi deve anche ammettersi $ b < 4 $, ché diversamente $ 2 \equiv 0 \bmod 8 $, assurdo! Pertanto $ b = 2 $ oppure $ b = 3 $, e in entrambi i casi $ c \geq 3 $. Tuttavia, se $ b = 2 $, allora $ 4 + c! = 2^n $, il che è impossibile! Ne seguiterebbe infatti $ 4 \equiv 0 \bmod 2^3 $, per $ c \geq 4 $; e $ 10 = 2^n $, per $ c = 3 $. Ergo $ b = 3 $, e quindi $ 8 + c! = 2^n $. Da qui e dal precedente $ 3 \leq c \leq 6 $, pena dedurne $ 8 \equiv 0 \bmod 2^4 $ (assurdo!). Ora $ 8 + 3! = 2 \cdot 7 $; $ 8 + 4! = 2^5 $ e $ 8 + 5! = 2^7 $, onde concluderne che un secondo blocco di soluzioni è definito da tutte le $ 4 $-uple $ (a,b,c,n) $ di interi dell'insieme $ \mathcal{S}_2 = \{(2, 3,4,5), (2,3,5,7)\} $.
A questo punto, posto $ \mathcal{S} = \mathcal{S}_1 \cup \mathcal{S}_2 $ e detto $ \mathfrak{S} $ l'insieme di tutte le permutazioni del quarto ordine, si deduce finalmente che le soluzioni in interi non negativi all'equazione proposta appartengono tutte e sole all'insieme $ \mathcal{T} = \{(a,b,c,n): (a,b,c,n) \in \sigma(\mathcal{S}), \forall \sigma(\cdot) \in \mathfrak{S}\mbox{ t.c. }\sigma(n) = n\} $. Ovviamente non potete pretendere ch'io descriva in forma estensiva quest'orrido insieme...
EDIT: ooops...
Ultima modifica di HiTLeuLeR il 16 ago 2005, 02:24, modificato 1 volta in totale.
HiTLeuLeR ha scritto:A questo punto, posto $ \mathcal{S} = \mathcal{S}_1 \cup \mathcal{S}_2 $ e detto $ \mathfrak{S} $ l'insieme di tutte le permutazioni del quarto ordine, si deduce finalmente che le soluzioni in interi non negativi all'equazione proposta appartengono tutte e sole all'insieme $ \mathcal{T} = \{(a,b,c,d): (a,b,c,d) \in \sigma(\mathcal{S}), \forall \sigma(\cdot) \in \mathfrak{S}\} $. Ovviamente non potete pretendere ch'io descriva in forma estensiva quest'orrido insieme...
io direi che solo a,b,c possono permutarsi, per il resto mi sembra tutto giusto, forse ridondante ^^
_k_