Dati due interi pari $ m $ e $ n $ con $ m<n $, dimostrare che se $ k $ è un numero reale tale che
$ k>\frac{m^2+n^2}{2} $
allora il polinomio
$ p(x)=(x^2+k)(x-m)(x-n)+1 $
ha due radici reali e due radici non reali
Due interi pari m e n e un polinomio
Il quesito e' gia' stato posto da NicolasBourbaki ( vedi in questa stessa pagina).
Aggiungo comunque la mia soluzione con qualche variazione rispetto a quelle
gia' elaborate.
Osserviamo preliminarmente che fuori dell'intervallo ]m,n[ e' sicuramente
p(x) positivo perche' tali sono i polinomi x^2+k e (x-m)(x-n) e che pertanto le eventuali radici di p(x) vanno ricercate in ]m,n[ .
Ora ,per le ipotesi fatte su m,n e k, e':
p(m)=p(n)=1>0, p((m+n)/2)<0 e dunque p(x) ha comunque due
radici reali, l'una x1 in ]m,(m+n)/2[ l'altra x2 in ](m+n)/2,n[. Per dimostrare che non esistono altri zeri di p(x) calcoliamo la derivata seconda di p(x):
$ p''(x)=12x^2-6(m+n)x+2(k+mn) $
Il discriminante (ridotto) di p''(x) e':
$ \Delta=9(m+n)^2-24(k+mn) $
e quindi,per quanto supposto su k,si ha:
$ \Delta<9(m+n)^2-24(\frac{m^2+n^2}{2}+mn)=-3(m+n)^2<0 $
Ne segue che p''(x) e' sempre positivo in R ovvero che p(x) e' funzione
convessa in tutto R (e quindi anche in ]m,n[) e che pertanto esso non
puo' avere altre radici fuori di x1 ed x2.
Aggiungo comunque la mia soluzione con qualche variazione rispetto a quelle
gia' elaborate.
Osserviamo preliminarmente che fuori dell'intervallo ]m,n[ e' sicuramente
p(x) positivo perche' tali sono i polinomi x^2+k e (x-m)(x-n) e che pertanto le eventuali radici di p(x) vanno ricercate in ]m,n[ .
Ora ,per le ipotesi fatte su m,n e k, e':
p(m)=p(n)=1>0, p((m+n)/2)<0 e dunque p(x) ha comunque due
radici reali, l'una x1 in ]m,(m+n)/2[ l'altra x2 in ](m+n)/2,n[. Per dimostrare che non esistono altri zeri di p(x) calcoliamo la derivata seconda di p(x):
$ p''(x)=12x^2-6(m+n)x+2(k+mn) $
Il discriminante (ridotto) di p''(x) e':
$ \Delta=9(m+n)^2-24(k+mn) $
e quindi,per quanto supposto su k,si ha:
$ \Delta<9(m+n)^2-24(\frac{m^2+n^2}{2}+mn)=-3(m+n)^2<0 $
Ne segue che p''(x) e' sempre positivo in R ovvero che p(x) e' funzione
convessa in tutto R (e quindi anche in ]m,n[) e che pertanto esso non
puo' avere altre radici fuori di x1 ed x2.