Siano $ x,y,z $ e $ \alpha, \beta, \gamma $ numeri reali tali che
$ \alpha z - 2\beta y + \gamma x = 0 $, $ \alpha \gamma - \beta^2 > 0 $
Dimostrare che
$ xz-y^2 \leq 0 $
Tante variabili
Possiamo dividere il problema in due casi.
Caso 1:$ \displaystyle \alpha \geq x ; z \geq \gamma $,oppure $ \displaystyle \alpha \leq x ; z \leq \gamma $.
Abbiamo $ \displaystyle \beta^2+y^2 \geq 2\beta y = \alpha z + \gamma x \geq \alpha \gamma + zx $(l'ultimo passaggio per la disuguaglianza di riordinamento).Ovviamente,affinchè la disuguaglianza regga,se $ \displaystyle \beta^2 \leq \alpha \gamma $,allora $ \displaystyle y^2 \geq zx $.
Caso 2:$ \displaystyle \alpha \geq x ; \gamma \geq z $, oppure $ \displaystyle \alpha \leq x ; \gamma \leq z $.
In questo caso,si ha $ \displaystyle 2 \beta y = \alpha z + \gamma x \geq 2 \sqrt{\alpha \gamma z x} $,quindi $ \displaystyle \beta x \geq \sqrt{\alpha \gamma z x} $.Poichè $ \displaystyle \beta \leq \sqrt {\alpha \gamma} $,per forza $ y \geq \sqrt{z x} $,e quindi la tesi.
Caso 1:$ \displaystyle \alpha \geq x ; z \geq \gamma $,oppure $ \displaystyle \alpha \leq x ; z \leq \gamma $.
Abbiamo $ \displaystyle \beta^2+y^2 \geq 2\beta y = \alpha z + \gamma x \geq \alpha \gamma + zx $(l'ultimo passaggio per la disuguaglianza di riordinamento).Ovviamente,affinchè la disuguaglianza regga,se $ \displaystyle \beta^2 \leq \alpha \gamma $,allora $ \displaystyle y^2 \geq zx $.
Caso 2:$ \displaystyle \alpha \geq x ; \gamma \geq z $, oppure $ \displaystyle \alpha \leq x ; \gamma \leq z $.
In questo caso,si ha $ \displaystyle 2 \beta y = \alpha z + \gamma x \geq 2 \sqrt{\alpha \gamma z x} $,quindi $ \displaystyle \beta x \geq \sqrt{\alpha \gamma z x} $.Poichè $ \displaystyle \beta \leq \sqrt {\alpha \gamma} $,per forza $ y \geq \sqrt{z x} $,e quindi la tesi.
Sunshine or rain, it's all the same, life isn't gray
oh Mary-Lou.
(Mary-Lou --- Sonata Arctica)
oh Mary-Lou.
(Mary-Lou --- Sonata Arctica)
Se si suppone che sia x,y,z<>0 si puo' procedere cosi'.
Cominciamo con l'osservare che $ \alpha $ e $ \gamma $ devono essere entrambi diversi da 0 e di egual segno.
Cio' detto si ha: $ \displaystyle \beta=\frac{\alpha z+\gamma x}{2y} $
e quindi sostituendo risulta:
$ (z^2)\alpha^2+2(xz-2y^2)\alpha \gamma+(x^2)\gamma^2<0 $
Tale relazione si puo' interpretare come una disequazione nella indeterminata
$ \frac{\alpha}{\gamma} $ avente il primo coeff. positivo e quindi possibile solo se il discriminante e' positivo:
$ (xz-2y^2)^2-x^2z^2>0 $ od anche $ y^2-xz>0 $
C.V.D.
Negli altri casi si giunge a dimostrare che :$ y^2-xz=0 $ oppure
come prima $ y^2-xz>0 $
Cominciamo con l'osservare che $ \alpha $ e $ \gamma $ devono essere entrambi diversi da 0 e di egual segno.
Cio' detto si ha: $ \displaystyle \beta=\frac{\alpha z+\gamma x}{2y} $
e quindi sostituendo risulta:
$ (z^2)\alpha^2+2(xz-2y^2)\alpha \gamma+(x^2)\gamma^2<0 $
Tale relazione si puo' interpretare come una disequazione nella indeterminata
$ \frac{\alpha}{\gamma} $ avente il primo coeff. positivo e quindi possibile solo se il discriminante e' positivo:
$ (xz-2y^2)^2-x^2z^2>0 $ od anche $ y^2-xz>0 $
C.V.D.
Negli altri casi si giunge a dimostrare che :$ y^2-xz=0 $ oppure
come prima $ y^2-xz>0 $