Sommatoria

[jimmy]

Problema che si poneva l\'altra sera in chat: dimostrare che la sommatoria con n da 0 a infinito di n/2^(n+1) e\' uguale a 1...

[Kornholio]

è una semplice serie geometrica di ragione 1/2
<BR>e primo termine 1/2, che dunque convergerà
<BR>a
<BR>
<BR>a[1] / (1-q)
<BR>
<BR>ovvero a 1...
<BR>
<BR>Potrebbe essere interessante chiedere questo : come si giunge a scrivere la formula di convergenza per una serie geometrica con primo termine a[1] e ragione q ?
<BR>
<BR>Ma anche questo è semplice, basta ragionare non in base 10 ma in \"basi frazionarie\"...

[jimmy]

Probabilmente mi sfugge qcs di molto semplice.... ma a me non sembra una progressione geometrica. I termini sono:
<BR>0,1/4,4/8,11/16,26/32.....
<BR>
<BR>si, penso proprio mi sfugga qcs....
<BR><IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">

[sprmnt21]

Sia S(k) la k-esima somma parziale.
<BR>
<BR>Si ha:
<BR>
<BR>1/2*S(k) = 1/2(1/4+2/8+3/16+...+k/2^(k+1)) = 1/8+2/16+...+k/2^(k+2).
<BR>
<BR>
<BR>Utilizzando la seguente identita\':
<BR>
<BR>
<BR>(1-(1/2)^(k+3)/(1-(1/2))=1+1/2+1/4+1/8+...+1/2^(k+2)
<BR>
<BR>
<BR>abbiamo che:
<BR>
<BR>
<BR>1/2*S(k) + (1-(1/2)^(k+3)/(1-(1/2)) = 1+1/2+1/4+2/8+3/16+...+k/2^(k+1)+(k+1)/2^(k+2)=1+1/2+S(k)+(k+1)/2^(k+2).
<BR>
<BR>
<BR>Riordinando le cose, si ha che S(k)=1-(k+2)/2^(k+1).
<BR>
<BR>Percio\' S(k)-->1 per k-->oo.
<BR>
<BR>Quindi la somma della serie e\' 1 .
<BR>
<BR>Spero di non aver sbagliato qualche conto da qualche parte ma, in ogni caso, la via mi sembra buona.
<BR>
<BR>
<BR>ciao
<BR>
<BR>Sprmnt21
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