Sia ABC un triangolo isoscele sulla base BC ed X un punto interno
a BC ,distinto dagli estremi.La generica retta, passante per il
punto medio L di AX,intersechi gli assi di BX ed XC in P e Q.
Dette V,M e W le proiezioni ortogonali di P,A e Q su BC,dimostrare che: AM=PV+QW
Allora, è ovvio che $ PV $, $ LU $ e $ QW $ saranno parallele, essendo perpendicolari allo stesso lato. Ora, essendo $ BX+XC=AC $, $ \frac{BX}{2}+\frac{XC}{2}=\frac{BC}{2}=MC=XV+WX=VW $, e $ XW=WC $per ipotesi. Inoltre $ MU=UX $ per il teorema di Talete.
Ora, dato $ BV=VX $ e $ BM=VW $, ne ricaviamo che $ VM=WC=XM $, quindi $ VU=UW $, quindi $ PL=LQ $ sempre per Talete. Tracciando la perpendicolare a $ PV $ per $ P $, sempre per il buon Talete, $ PV+QW=2\cdot LU $. Tuttavia tracciando la perpendicolare a $ LU $ per $ L $, che incontra $ AM $ in $ T $, $ AL=TM=TA $, quindi $ PV+QW=TM+TA=AM $
Fascio per $ L $: $ y=m\left(x-\dfrac{2g+1}{2}\right)+t $
Imponiamo il passaggio per $ x=g $ e $ x=g+1 $ che sono gli assi avremo che:
$ P\equiv \left(g,t-\dfrac{1}{2}m\right) $
$ Q\equiv \left(g,t+\dfrac{1}{2}m\right) $
Risulta che $ PV+QW=t-1/2m+t+1/2m=2t=AM $
q.e.d.
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