Equazione di vettori
- psion_metacreativo
- Messaggi: 645
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Equazione di vettori
Sia $ V $ uno spazio vettoriale di matrici di dimensione $ n\times n $, definito su un corpo $ \mathbb{K} $. Stabilire se esistono vettori $ X\in V $ tali che: $ AX-XA=I_{n} $, ove $ A\in V $ e $ I_{n} $ è la matrice identica di ordine $ n $. Se esistono determinarli, altrimenti provare che non esistono.
Domanda extra (a differenza del problema qui sopra la domanda successiva non l'ho risolta, anzi mi è venuta in mente per curiosità personale. Mi aspetto che possa essere una questione molto complicata quindi se potete dirmi qualcosa magari anche brevemente bene sennò è lo stesso): Cosa si può dire se consideriamo lo spazio vettoriale di matrici di ordine infinito?
Domanda extra (a differenza del problema qui sopra la domanda successiva non l'ho risolta, anzi mi è venuta in mente per curiosità personale. Mi aspetto che possa essere una questione molto complicata quindi se potete dirmi qualcosa magari anche brevemente bene sennò è lo stesso): Cosa si può dire se consideriamo lo spazio vettoriale di matrici di ordine infinito?
- psion_metacreativo
- Messaggi: 645
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- psion_metacreativo
- Messaggi: 645
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Re: Equazione di vettori
Scusate, forse sono io che sono intrego. Ma a voi il testo torna tutto? Quel prodotto che senso avrebbe?psion_metacreativo ha scritto:$ AX-XA=I_{n} $
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."
- psion_metacreativo
- Messaggi: 645
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Re: Equazione di vettori
Già. La spiegazione è nel mio stesso post.
Ok. Io lo so fare in dimensione 1. E so provare che una siffatta X non c'è.
Devi aver pazienza, con gente della mia età: tu parli [giustamente!] di vettori... e invece son matrici. Ma i vettori son vettori, le matrici son matrici, e se li mescoli così, non ci capisco più nulla...Marco ha scritto:sono io che sono intrego
Ok. Io lo so fare in dimensione 1. E so provare che una siffatta X non c'è.
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."
- psion_metacreativo
- Messaggi: 645
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- psion_metacreativo
- Messaggi: 645
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Un passo avanti:
se la caratteristica di K è 0, X non esiste mai. Lo stesso se la caratteristica non divide la dimensione delle matrici. Sulla caratteristica positiva non ho lavorato molto, ma ho trovato un esempio in caratteristica 2, quando le matrici sono 2x2 (e in generale, matrici quadrate pari).
Sulla char = 3 e dim.3 ho provato, ma non ho ancora concluso nulla.
HINT per la mia sol. parziale: Calcolare la traccia di AX-XA.
Ciao. M.
se la caratteristica di K è 0, X non esiste mai. Lo stesso se la caratteristica non divide la dimensione delle matrici. Sulla caratteristica positiva non ho lavorato molto, ma ho trovato un esempio in caratteristica 2, quando le matrici sono 2x2 (e in generale, matrici quadrate pari).
Sulla char = 3 e dim.3 ho provato, ma non ho ancora concluso nulla.
HINT per la mia sol. parziale: Calcolare la traccia di AX-XA.
Ciao. M.
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."
- psion_metacreativo
- Messaggi: 645
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Ho letto adesso tutto il topic e sinceramente sono un pò perplesso...
La tesi è banalmente vera per matrici a coefficienti in un campo. Però qua si parla di un corpo; è però vero che Marco ha detto:
Morale della favola, non nego che la tesi sia vera, anche se non ho una dimostrazione, ma vorrei capire bene le ipotesi. (O in alternativa se devo cambiare spacciatore )
La tesi è banalmente vera per matrici a coefficienti in un campo. Però qua si parla di un corpo; è però vero che Marco ha detto:
Cosa che è vera per matrici a coefficienti in un campo e falsa in generale per matrici a coefficienti in un corpo... Un controesempio banale in dimensione 1: sia K il campo dei quaternioni e A=(i), X=(j); allora AX-XA=2k.Oh, beh, il dimensione 1 lo spazio delle matrici è banalmente un anello commutativo, quindi AX-XA = 0 sempre.
Morale della favola, non nego che la tesi sia vera, anche se non ho una dimostrazione, ma vorrei capire bene le ipotesi. (O in alternativa se devo cambiare spacciatore )
Fondatore: [url=http://olimpiadi.dm.unipi.it/oliForum/viewtopic.php?t=8899]Associazione non dimenticatevi dei nanetti![/url]
Membro: Club Nostalgici
Sono troppo scarso in italiano per usare parole con la c o la q...
Membro: Club Nostalgici
Sono troppo scarso in italiano per usare parole con la c o la q...
- psion_metacreativo
- Messaggi: 645
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
La colpa è mia che sto facendo esercizi su un libro piuttosto degradante e non sono stato abbastanza preciso nel riportare la traccia del problema che effetivamente ho risolto così come scritto nelle soluzioni del suddetto libro. Il problema è che questo libro con la dicitura
1) considerando $ \mathbb{K} $ o i numeri reali o i numeri complessi (caso di cui dispongo la soluzione e posso commentare eventualmente le vostre)
Extra (però nei seguenti modi non so se esista una soluzione discutibile, anzi eventuali soluzioni a riguardo saranno lette e apprezzate con estremo interesse dal sottoscritto):
2) Considerare $ \mathbb{K} $ un campo qualsiasi
3) Considerare $ \mathbb{K} $ un corpo.
4) A questo punto la mia domanda extra iniziale può essere formulata correttamente solo spezzandola in tre domande: una per ogni caso sopra descritto.
intende banalmente uno spazio vettoriale di matrici quadrate ad elementi reali o complessi. Mi rendo conto dell'enorme differenza che passa tra questa interpretazione e la traccia scritta ma io essendo abituato a questa convenzione quando svolgo gli esercizi su dato libro ormai non penso neanche più ai casi extra. Allora per mettere a posto la situazione in questo topic risolvere il problema iniziale:Sia $ V $ uno spazio vettoriale di matrici di dimensione $ n\times n $, definito su un corpo $ \mathbb{K} $.
1) considerando $ \mathbb{K} $ o i numeri reali o i numeri complessi (caso di cui dispongo la soluzione e posso commentare eventualmente le vostre)
Extra (però nei seguenti modi non so se esista una soluzione discutibile, anzi eventuali soluzioni a riguardo saranno lette e apprezzate con estremo interesse dal sottoscritto):
2) Considerare $ \mathbb{K} $ un campo qualsiasi
3) Considerare $ \mathbb{K} $ un corpo.
4) A questo punto la mia domanda extra iniziale può essere formulata correttamente solo spezzandola in tre domande: una per ogni caso sopra descritto.