Equazione di vettori

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psion_metacreativo
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Equazione di vettori

Messaggio da psion_metacreativo » 25 giu 2005, 14:22

Sia $ V $ uno spazio vettoriale di matrici di dimensione $ n\times n $, definito su un corpo $ \mathbb{K} $. Stabilire se esistono vettori $ X\in V $ tali che: $ AX-XA=I_{n} $, ove $ A\in V $ e $ I_{n} $ è la matrice identica di ordine $ n $. Se esistono determinarli, altrimenti provare che non esistono.

Domanda extra (a differenza del problema qui sopra la domanda successiva non l'ho risolta, anzi mi è venuta in mente per curiosità personale. Mi aspetto che possa essere una questione molto complicata quindi se potete dirmi qualcosa magari anche brevemente bene sennò è lo stesso): Cosa si può dire se consideriamo lo spazio vettoriale di matrici di ordine infinito?

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 25 giu 2005, 14:33

Ehm, cosa intendi con "spazio vettoriale di matrici di ordine infinito" ?
Lo spazio vettoriale dei funzionali lineari su uno spazio vettoriale infinito-dimensionale ?

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Messaggio da psion_metacreativo » 25 giu 2005, 16:39

Si Evariste intendo precisamente quello che hai scritto tu, ovviamente sottointendo cosa si può dire inerente la questione iniziale, non in generale.

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Pixel
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Messaggio da Pixel » 25 giu 2005, 20:17

Le matrici X che cerchi le vuoi che vadano bene per ogni A in V oppure vuoi che per ogni A esistano opportune X??
P. Andrea

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Messaggio da psion_metacreativo » 25 giu 2005, 23:56

Per come lo vedo io il testo è formulato correttamente non posso risponderti nei dettagli altrimenti credo ti darei già qualche indizio, al più ti posso consigliare di dirimere entrambe le questioni se ti sembrano distinte... (questo non vuol dire che non lo siano o forse si...)

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Marco
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Re: Equazione di vettori

Messaggio da Marco » 27 giu 2005, 19:03

psion_metacreativo ha scritto:$ AX-XA=I_{n} $
Scusate, forse sono io che sono intrego. Ma a voi il testo torna tutto? Quel prodotto che senso avrebbe?
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Messaggio da psion_metacreativo » 27 giu 2005, 19:19

Che vuol dire che senso ha? è la moltiplicazione standard(righe per colonne) tra 2 matrici, cosa c'è che non va?

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Re: Equazione di vettori

Messaggio da Marco » 27 giu 2005, 19:38

Già. La spiegazione è nel mio stesso post.
Marco ha scritto:sono io che sono intrego
Devi aver pazienza, con gente della mia età: tu parli [giustamente!] di vettori... e invece son matrici. Ma i vettori son vettori, le matrici son matrici, e se li mescoli così, non ci capisco più nulla...

Ok. Io lo so fare in dimensione 1. E so provare che una siffatta X non c'è.
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Messaggio da psion_metacreativo » 27 giu 2005, 19:55

è vero una siffatta X non esiste, vogliamo dire perchè o la prendiamo come una rivelazione? :)

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Messaggio da Marco » 28 giu 2005, 19:08

Oh, beh, il dimensione 1 lo spazio delle matrici è banalmente un anello commutativo, quindi AX-XA = 0 sempre. Ma non mi pareva quella gran dimostrazione da meritare di essere scritta...

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Messaggio da psion_metacreativo » 28 giu 2005, 19:49

Scusa avevo capito che sapevi provare subito il caso in dimensione $ n\times n $, chi si cimenta?

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Messaggio da Marco » 29 giu 2005, 07:56

Un passo avanti:

se la caratteristica di K è 0, X non esiste mai. Lo stesso se la caratteristica non divide la dimensione delle matrici. Sulla caratteristica positiva non ho lavorato molto, ma ho trovato un esempio in caratteristica 2, quando le matrici sono 2x2 (e in generale, matrici quadrate pari).

Sulla char = 3 e dim.3 ho provato, ma non ho ancora concluso nulla.

HINT per la mia sol. parziale: Calcolare la traccia di AX-XA.

Ciao. M.
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Messaggio da psion_metacreativo » 29 giu 2005, 12:05

la hint di Marco mi pare decisiva

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moebius
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Messaggio da moebius » 30 giu 2005, 15:45

Ho letto adesso tutto il topic e sinceramente sono un pò perplesso...
La tesi è banalmente vera per matrici a coefficienti in un campo. Però qua si parla di un corpo; è però vero che Marco ha detto:
Oh, beh, il dimensione 1 lo spazio delle matrici è banalmente un anello commutativo, quindi AX-XA = 0 sempre.
Cosa che è vera per matrici a coefficienti in un campo e falsa in generale per matrici a coefficienti in un corpo... Un controesempio banale in dimensione 1: sia K il campo dei quaternioni e A=(i), X=(j); allora AX-XA=2k.
Morale della favola, non nego che la tesi sia vera, anche se non ho una dimostrazione, ma vorrei capire bene le ipotesi. (O in alternativa se devo cambiare spacciatore :D )
Fondatore: [url=http://olimpiadi.dm.unipi.it/oliForum/viewtopic.php?t=8899]Associazione non dimenticatevi dei nanetti![/url]
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Sono troppo scarso in italiano per usare parole con la c o la q...

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Messaggio da psion_metacreativo » 01 lug 2005, 10:19

La colpa è mia che sto facendo esercizi su un libro piuttosto degradante e non sono stato abbastanza preciso nel riportare la traccia del problema che effetivamente ho risolto così come scritto nelle soluzioni del suddetto libro. Il problema è che questo libro con la dicitura
Sia $ V $ uno spazio vettoriale di matrici di dimensione $ n\times n $, definito su un corpo $ \mathbb{K} $.
intende banalmente uno spazio vettoriale di matrici quadrate ad elementi reali o complessi. Mi rendo conto dell'enorme differenza che passa tra questa interpretazione e la traccia scritta ma io essendo abituato a questa convenzione quando svolgo gli esercizi su dato libro ormai non penso neanche più ai casi extra. Allora per mettere a posto la situazione in questo topic risolvere il problema iniziale:
1) considerando $ \mathbb{K} $ o i numeri reali o i numeri complessi (caso di cui dispongo la soluzione e posso commentare eventualmente le vostre)
Extra (però nei seguenti modi non so se esista una soluzione discutibile, anzi eventuali soluzioni a riguardo saranno lette e apprezzate con estremo interesse dal sottoscritto):
2) Considerare $ \mathbb{K} $ un campo qualsiasi
3) Considerare $ \mathbb{K} $ un corpo.
4) A questo punto la mia domanda extra iniziale può essere formulata correttamente solo spezzandola in tre domande: una per ogni caso sopra descritto.

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