2002
Innanzitutto: $ \mbox{ord}_7(10) = \mbox{ord}_{13}(10) = 6 $ e $ \mbox{ord}_{11}(10) = 2 $, sicché $ \mbox{ord}_{\,7 \cdot 11 \cdot 13}(10) \mid 6 $. Ne viene che, per ogni $ k\in\mathbb{N} $: $ \displaystyle\frac{10^{6k} - 1}{9} \equiv 0 \bmod (7 \cdot 11 \cdot 13) $. D'altra parte $ 2002 = 2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 $. E allora $ \displaystyle 2002 \mid \left(10^j\cdot\frac{10^{6k} - 1}{9} + 2002\right) $, se $ j, k\in\mathbb{N}_0 $. Per ogni intero $ b > 1 $, sia adesso $ s_b(\cdot): \mathbb{N}_0 \mapsto \mathbb{C} $ la funzione aritmetica che ad ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $ fa corrispondere la somma delle cifre della sua rappresentazione posizionale in base $ b $. Se dunque $ j, k\in\mathbb{N}_0 $ e $ j > 3 $: $ \displaystyle s_{10}\!\left(10^j\cdot\frac{10^{6k} - 1}{9} + 2002\right) = 6k + 4 $. Considerando che può scriversi $ 2002 = 6 \cdot 333 + 4 $ e fissando di conseguenza nella relazione indicata $ k = 333 $, ne risulta prontamente una soluzione al problema proposto.
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