2002

[karotto]

Trovare un numero divisibile per 2002 la cui somma delle cifre faccia 2002

[HiTLeuLeR]

Innanzitutto: $ \mbox{ord}_7(10) = \mbox{ord}_{13}(10) = 6 $ e $ \mbox{ord}_{11}(10) = 2 $, sicché $ \mbox{ord}_{\,7 \cdot 11 \cdot 13}(10) \mid 6 $. Ne viene che, per ogni $ k\in\mathbb{N} $: $ \displaystyle\frac{10^{6k} - 1}{9} \equiv 0 \bmod (7 \cdot 11 \cdot 13) $. D'altra parte $ 2002 = 2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 $. E allora $ \displaystyle 2002 \mid \left(10^j\cdot\frac{10^{6k} - 1}{9} + 2002\right) $, se $ j, k\in\mathbb{N}_0 $. Per ogni intero $ b > 1 $, sia adesso $ s_b(\cdot): \mathbb{N}_0 \mapsto \mathbb{C} $ la funzione aritmetica che ad ogni $ n\in\mathbb{N}_0 $ fa corrispondere la somma delle cifre della sua rappresentazione posizionale in base $ b $. Se dunque $ j, k\in\mathbb{N}_0 $ e $ j > 3 $: $ \displaystyle s_{10}\!\left(10^j\cdot\frac{10^{6k} - 1}{9} + 2002\right) = 6k + 4 $. Considerando che può scriversi $ 2002 = 6 \cdot 333 + 4 $ e fissando di conseguenza nella relazione indicata $ k = 333 $, ne risulta prontamente una soluzione al problema proposto.

[matthewtrager]

non vorrei sparare ca...te ma non va bene semplicemente il numero:

10011001100110011001...2002

Praticamente e' 999 volte "1001" e in fondo "2002". cosi' il numero si puo' scrivere come somma di 1001*10^k e una volta 2002...

[HiTLeuLeR]

non vorrei sparare ca...te ma non va bene semplicemente il numero: 10011001100110011001...2002 [?]

Sì.

[...] cosi' il numero si puo' scrivere come somma di 1001*10^k e una volta 2002...

Beh, questo non è vero...

[matthewtrager]

si vabbe' come somma di 1001 per varie potenze di 10 (e ogni volta 1001*10^k e' divisibile per 2002) e una volta 2002. detto un po' meglio e'
$ n=\sum_{i=1}^{999} (1001*10^{4i}) + 2002 $

[karotto]

Oppure 497 2002 e un 2002 x 17=34034. Anche in questo caso non vorrei dire ca..ate