La mosca e i treni [da "Salve a tutti"]

[hexen]

io ho provato a fare una cosa, se l'urto è elastico si conserva l'energia cinetica e la quantità di moto quindi, se a e b sono le masse della palla e del treno otteniamo un sistema di secondo grado che ha come soluzioni (siano x e y le velocità rispettivam della palla e del treno dopo l'urto)

$ $$\left (x=\frac{100(3a+b)}{a+b} \wedge y=\frac{200(2a+b)}{a+b} \right ) \vee (x=300 \wedge y=200)$$ $

dopo non aver capito perché vengono sia numeriche che in funzione delle masse (matematicamete perche è di secondo grado, ma fisicamnte?) mi chiedo perché state dicendo che la velocità aumenta

[aursic]

@fur3770

Il tempo totale dopo n urti è dato da >[formula]< (serie telescopica)
Risulta da qui evidente che dopo un tempo di 1 (cioè prima dello scontro tra i treni) la palla avrà fatto un numero infinito di urti.

@hexen

Una delle due soluzioni è lo stato iniziale, che ovviamente soddisfa le ipotesi di conservazione di energia e q. di m.: nei problemi di urti succede sempre.
Nella tua soluzione c'è qualcosa di strano: nella soluzione numerica il treno ha una velocità maggiore che nella situazione iniziale (non si conserva l'energia!)

(Ora non ho tempo di fare i conti - sono al pc ma non ho carta e penna - ma in breve: ho considerato l'urto nel sistema di riferimento inerziale del treno - che considero come un muro di massa enorme su cui rimbalza la palla. Essendo il sistema di riferimento inerziale, là l'urto può essere analizzato ugualmente, e diventa uguale al caso di una palla che rimbalza su un muro, per cui il modulo della sua velocità rispetto al muro rimane uguale, ma cambia il verso. Tornando nel sistema di riferimento "fisso" si nota che la velocità della palla aumenta ad ogni colpo del doppio della velocità del treno)

Ciao!

[fur3770]

che proprietà ha la serie telescopica?

[rargh]

Io avevo sentito questo problemino classico con la mosca che si muove a velocità costante tra due tizi che vanno uno contro l'altro, e in quel caso la soluzione era banale. Essendo questo un problema fisico in effetti il fatto che gli urti siano elastici cambia il problema.
Un altro problema carino è quello delle tre lumache disposte ai vertici di un triangolo equilatero di lato L, e ognuna si sposta verso quella adiacente (quella che vede davanti, non quella dietro) a velocità costante in modulo V. Dimostrare che le lumache si incontrano, e calcolare il tempo necessario affinché si incontrino.

P.S.: quel laureato in fisica, se ha riempito pagine di calcoli per arrivare alla prima soluzione, quella in cui si supponeva costante in modulo la velocità della pallina, dovrebbe un po' preoccuparsi riguardo il suo modo di affrontare i problemi.

[Sisifo]

Sì. Infiniti appunto (la distanza nel tempo da un urto all'altro diminuisce sempre...)

[aursic]

che proprietà ha la serie telescopica?

Se provi ad esplicitare i primi termini della somma ti accorgi che i termini si cancellano a due a due e rimangono solo il primo (o meglio una sua parte) e una parte dell'ultimo. Spero di essere stato chiaro (guarda l'ora ) Altrimenti sul forum ci sono molti bravi matematici che sanno essere di gran lunga più chiari!
Ciao!
Andrea

[Huxeley]

il problema non è affatto facile come diceva colui che lo ha proposto. La soluzione di Aursic è assolutamente corretta. Credo che alcuni non abbiano capito (ma anche il testo è errato) che la velocità dalla pallina aumenta ad ogni urto perchè essa riceve energia dal treno urtato. Il problema a me sembra più interessante di quello di Zenone perchè porta a risultati paradossali ma mentre in quello di Zenone il paradosso è facilmente spiegabile in questo rimane tale anche dopo il trattamento matematico.

[Huxeley]

Volevo aggiungere che la frase di Aursic “", e trascurando effetti relativistici nonché la perdita di energia dei treni ad ogni urto” non è peregrina, non è una frase di routine, tanto per ricordare che esiste la meccanica relativistica, ma una vera e propria limitazione della questione. Possiamo osservare che una pallina di raggio 1 cm dopo circa 10 exp 6 urti si trova a contatto dei due treni e la velocità raggiunta è circa 1/5 della velocità della luce e, come tale, gli effetti relativistici si fanno sentire.

[dimpim]

Credo che alcuni non abbiano capito (ma anche il testo è errato) che la velocità dalla pallina aumenta ad ogni urto perchè essa riceve energia dal treno urtato.

No no, il testo è giusto: si suppone che le velocità restino costanti, punto. Se poi si vuole estendere il problema ad altri casi, beh, è proprio quello che state facendo qui.

[aursic]

(si suppone che gli urti siano perfettamente elastici, quindi le velocità non variano)

Il punto è semplicemente che questa frase è un po' contraddittoria:
o le velocità non variano (e il problema è banale) o gli urti sono elastici (e il problema diventa in realtà ancora più complicato della mia "semplificazione")

Ciao!
Andrea

[Huxeley]

Non è un po' contraddittoria, è del tutto contraddittoria. Le velocità non possono non variare se l'urto avviene contro una parete in moto e la variazione di velocità è veramente notevole perchè il treno ha una velocità che all'inizio è 1/3 di quella della pallina. Se giochi a tennis, quando colpisci la palla non puoi dire che si ha un rimbalzo elastico e la pallina rimane con la stessa velocità in modulo! Al balzo successivo non potrebbe arrivare alla racchetta dell'avversario! Il discorso semplicistico sarebbe stato accettabile se, per qualche miracolo, quando la pallina arriva ad un millimetro del treno tornasse indietro. Ma che senso fisico avrebbe? Perchè dovrebbe tornare indietro? Si dovrebbe oppure supporre una velocità dei treni estremamente inferiore a quella della pallina, non nel rapporto 1:3 .

[Paoloca]

Classici errori di problemi proposti con wording differenti. Ne avevo letto una versione con un cane che faceva la spola tra 2 persone; quella ad esempio era risolvibile con il primo metodo proposto..

[Huxeley]

Ammettendo che l’urto sia parzialmente anelastico, che la velocità si mantenga costante e che l’energia perduta vada tutta nella pallina (tanto siamo ormai nel campo dei miracoli), con dei conti banali, si nota che l’incremento di temperatura di questa (di acciaio) sarebbe di 34500°C !!!!! La pallina vaporizzerebbe al primo urto e non si avrebbe più alcun rimbalzo.

[Huxeley]

Ragazzi, rebus sic stantibus, vi propongo di riaprire il processo a quel giovane laureato in fisica che ha riempito vari fogli di calcoli e di assolverlo con formula piena.La Chiesa lo ha fatto per un certo Galileo dopo 500 anni, noi lo possiamo fare subito. Oltretutto, non so Aursic, ma io ho impiegato tutta una mattinata per risolvere compiutamente la questione, riconoscere le serie eliminare gli errori e capire un po’ il significato fisico di quella distanza infinita.
A proposito della serie telescopica (che io conoscevo sotto il nome di serie di Mengoli ),differenza fra due serie armoniche, vorrei ricordare che una decina di anni fa essa è uscita in un compito di maturità scientifica. Si chiedeva di calcolare la somma degli infiniti termini di essa.
Il calcolo si fa subito se si danno ad i alcuni valori

Tn=∑[(1/(1+i) -1/(2+i)]= 1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4……………………………=1

[dimpim]

Chiedo perdono, in effetti quel "si suppone che gli urti siano perfettamente elastici" l'ho buttato lì non so neanche bene perché... Comunque devo ammettere che considerando urti elastici la cosa diventa parecchio interessante.