Sia P un punto interno al triangolo ABC tale che risulti:
PAB=PBC=PCA=$ \varphi $.
Dimostrare che si ha:
$
\frac{1}{{\sin ^2 \alpha }} + \frac{1}{{\sin ^2 \beta }} + \frac{1}{{\sin ^2 \gamma }} = \frac{1}{{\sin ^2 \varphi }}
$
dove $ \alpha,\beta,\gamma $ sono gli angoli interni del triangolo.
Una relazione notevole (..secondo me)
Brocard
Contazzi, sì, i miei preferiti!
L'angolo di Brocard ha sempre molto fascino...
Dato che sono incompetente in materia TeX posto il link
ad una soluzione in formato .pdf
http://elianto84.altervista.org/brocard.pdf
[Copiate e incollate l'URL nella barra degli indirizzi e premete invio,
Altervista mi dà grane con i PDF ultimamente...]
Questo pdf da me caoticamente redatto, per inciso, dimostra anche che
ctg(omega) = ctg(alfa) + ctg(beta) + ctg(gamma)
che è forse la relazione più nota circa l'angolo di Brocard.
L'angolo di Brocard ha sempre molto fascino...
Dato che sono incompetente in materia TeX posto il link
ad una soluzione in formato .pdf
http://elianto84.altervista.org/brocard.pdf
[Copiate e incollate l'URL nella barra degli indirizzi e premete invio,
Altervista mi dà grane con i PDF ultimamente...]
Questo pdf da me caoticamente redatto, per inciso, dimostra anche che
ctg(omega) = ctg(alfa) + ctg(beta) + ctg(gamma)
che è forse la relazione più nota circa l'angolo di Brocard.
Jack alias elianto84 alias jack202
http://www.matemate.it IL SITO
.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -
http://www.matemate.it IL SITO
.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -
Interessante soluzione quella di elianto84,ricca di spunti (come ad
esempio la forma trigonometrica del teorema di Ceva).Comunque ecco
la mia soluzione un po' piu' ..terra terra.
Siano:
X l'intersezione di BP con AC,M ed N le proiezioni ortogonali
di B e P su AC ed R quella di A su BX.Inoltre indichiamo con
[XYZ] l'estensione del generico triangolo XYZ.
Dalla similitudine di ABX ed APX si trae:
$ AX:PX=BX:AX=>AX^2=PX*BX $
e per il teorema dei seni su APX:
$ \displaystyle\frac{sin^2\phi}{sin^2\alpha}=\frac{PX^2}{AX^2}=\frac{PX^2}{PX*BX}=\frac{PX}{BX} $
Ed ancora:
$ \displaystyle\frac{[APX]}{[ABX]}=\frac{PX*AR}{BX*AR}=\frac{PX}{BX}=\frac{PN}{BM}=\frac{PN*AC}{BM*AC}=\frac{[APC]}{[ABC]} $
E dunque raccogliendo:
(1) $ \displaystyle\frac{sin^2\phi}{sin^2\alpha}=\frac{[APC]}{[ABC]} $
Ed analogamente:
(2) $ \displaystyle\frac{sin^2\phi}{sin^2\beta}=\frac{[BPA]}{[BCA]} $
(3) $ \displaystyle\frac{sin^2\phi}{sin^2\gamma}=\frac{[CPB]}{[CAB]} $
Sommando (1),(2) e (3):
$ \displaystyle\frac{sin^2\phi}{sin^2\alpha}+\frac{sin^2\phi}{sin^2\beta}+\frac{sin^2\phi}{sin^2\gamma}=1 $
da cui dividendo per $ sin^2\phi $ si ha la tesi.
-
- Messaggi: 78
- Iscritto il: 25 feb 2005, 22:07
- Località: Padova
Spiegazioni
Allora...
Briggs1. sin(a)sin(b) = (1/2) cos(a-b) - cos(a+b) ]
Sin^3(W) = Sin(A-W)Sin(B-W)Sin(C-W)
diventa tramite Briggs1.
(1) Sin^3(W) = (1/2)[ cos(A-B) - cos(A+B-2W) ] sin(C-W)
Briggs2. cos(a)sin(b) = (1/2)[sin(a+b) - sin(a-b)]
Applichiamo Briggs2. alla (1)
Sin^3(W) = (1/4)[ sin(A-B+C-W) - sin(A-B-C+W) - sin(A+B+C-3W) + sin(A+B-C-W) ]
Ora ci ricordiamo che sin(-x)=-sin(x), che A+B+C=pi e che sin(pi-x)=sin(x)
e riconduciamo il tutto a
(2) 4sin^3(W)-sin(3W) = sin(2B+W) + sin(2A+W) + sin(2C+W)
il membro di sinistra è 3sin(W) per le formule di triplicazione del seno.
Infatti
sin(3W) = sin(2W+W) = sin(2W)cos(W)+sin(W)cos(2W) =
2sin(W)(1-sin^2(W)) + sin(W)(1-2sin^2(W)) = 3sin(W) - 4sin^3(W)
Segue che riarrangiando i termini della (2) abbiamo
(sin(2A+W)-sin(W)) + (sin(2B+W)-sin(W)) + (sin(2C+W)-sin(W)) = 0
Adesso ricorriamo a Briggs3.
Ricordo sin(a) - sin(b) = 2 sin((a-b)/2) cos((a+b)/2)
sin(A)cos(A+W) + sin(B)cos(B+W) + sin(C)cos(C+W) = 0
A questo punto basta sviluppare il coseno della somma e raccogliere
cos(W) [ sin(A)cos(A) + sin(B)cos(B) + sin(C)cos(C)] =
sin(W) [ sin(A)^2 + sin(B)^2 + sin(C)^2]
Poi moltiplico per R^2 (raggio della circonferenza circoscritta al quadrato).
Questo perchè, per il teorema del seno,
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) = 2R
inoltre, se O è il circocentro del triangolo ABC, l'area di OAB è data da
(1/2) R^2 sin(^AOB) = (1/2) R^2 sin(2C) = R^2 sin(C)cos(C)
dunque ottengo ( S è l'area del triangolo )
(3) 4S cos(W) = sin(W) (a^2 + b^2 + c^2)
e dalla (3) si tirano fuori piuttosto agevolmente tutte le relazioni che
coinvolgono W (angolo di Brocard).
Spero di essere stato chiaro.
Hasta luego!
Briggs1. sin(a)sin(b) = (1/2) cos(a-b) - cos(a+b) ]
Sin^3(W) = Sin(A-W)Sin(B-W)Sin(C-W)
diventa tramite Briggs1.
(1) Sin^3(W) = (1/2)[ cos(A-B) - cos(A+B-2W) ] sin(C-W)
Briggs2. cos(a)sin(b) = (1/2)[sin(a+b) - sin(a-b)]
Applichiamo Briggs2. alla (1)
Sin^3(W) = (1/4)[ sin(A-B+C-W) - sin(A-B-C+W) - sin(A+B+C-3W) + sin(A+B-C-W) ]
Ora ci ricordiamo che sin(-x)=-sin(x), che A+B+C=pi e che sin(pi-x)=sin(x)
e riconduciamo il tutto a
(2) 4sin^3(W)-sin(3W) = sin(2B+W) + sin(2A+W) + sin(2C+W)
il membro di sinistra è 3sin(W) per le formule di triplicazione del seno.
Infatti
sin(3W) = sin(2W+W) = sin(2W)cos(W)+sin(W)cos(2W) =
2sin(W)(1-sin^2(W)) + sin(W)(1-2sin^2(W)) = 3sin(W) - 4sin^3(W)
Segue che riarrangiando i termini della (2) abbiamo
(sin(2A+W)-sin(W)) + (sin(2B+W)-sin(W)) + (sin(2C+W)-sin(W)) = 0
Adesso ricorriamo a Briggs3.
Ricordo sin(a) - sin(b) = 2 sin((a-b)/2) cos((a+b)/2)
sin(A)cos(A+W) + sin(B)cos(B+W) + sin(C)cos(C+W) = 0
A questo punto basta sviluppare il coseno della somma e raccogliere
cos(W) [ sin(A)cos(A) + sin(B)cos(B) + sin(C)cos(C)] =
sin(W) [ sin(A)^2 + sin(B)^2 + sin(C)^2]
Poi moltiplico per R^2 (raggio della circonferenza circoscritta al quadrato).
Questo perchè, per il teorema del seno,
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) = 2R
inoltre, se O è il circocentro del triangolo ABC, l'area di OAB è data da
(1/2) R^2 sin(^AOB) = (1/2) R^2 sin(2C) = R^2 sin(C)cos(C)
dunque ottengo ( S è l'area del triangolo )
(3) 4S cos(W) = sin(W) (a^2 + b^2 + c^2)
e dalla (3) si tirano fuori piuttosto agevolmente tutte le relazioni che
coinvolgono W (angolo di Brocard).
Spero di essere stato chiaro.
Hasta luego!
Jack alias elianto84 alias jack202
http://www.matemate.it IL SITO
.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -
http://www.matemate.it IL SITO
.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -
-
- Messaggi: 78
- Iscritto il: 25 feb 2005, 22:07
- Località: Padova