Il famoso problema delle mediane

[Boll]

Se lo ritenete opportuno cancellate questa prima frase e mettetelo nel Glossario.

Problema
Dimostrare che in un triangolo $ ABC $ le mediane $ AM $ e $ BN $ si secano a $ \displaystyle \frac{2}{3} $

[1000vale]

Dato il triangolo ABC,si devono condurre le mediane AM e BN(riferite rispettivamente ai lati BC e AC)con O come intersezione.Presi H e K punti medi di BO ed OA,se consideriamo il triangolo AOB avremo il segmento HK //AB,e HK=AB/2(perchè in un triangolo qualsiasi il segmento che congiunge i punti medi di due lati è parallelo al terzo e uguale alla sua metà).Per lo stesso teorema MN//AB,MN=AB/2;perciò NMHK è un parallelogrammo(2lati congruenti e paralleli).Le diagonali si dimezzano,quindi ON=OH e OM=OK ,percio OB=2ON,OA=2OM.Il punto O,baricentro del triangolo si trova in ogni mediana a 2/3 dal vertice opposto...Scusatemi se nn sono riuscita a inserire il disegno ma non so come si fa!Fatelo voi se potete...Devo imparare anche ad usare il LaTex...Giuro che mi impegnerò!

[Boll]

Ok, 1000vale, good solution. Io avevo pensato ad altre due differenti dalla tua. La prima era da psicolabile coi vettori... Conti, conti, conti

La seconda, più umana:

Con le tue notazioni, $ MN $ è parallelo ad $ AB $ e lungo la metà. $ MN//AB $ quindi $ A\widehat{M}N=M\widehat{A}B $, $ B\widehat{N}M=N\widehat{B}A $. Quindi i due triangoli $ NMO $ e $ AOB $ sono simili con rapporto di similitudine (dal grande al piccolo) $ 2 $. Quindi $ 2MO=OA $ e $ 2NO=OB $ che è esattamente la tesi.

[Marco]

Vi segnalo che cliccando qui (terzo messaggio del filo) potete trovare la traccia per una dimostrazione alternativa.

[EvaristeG]

Uhm ... Boll, se con i vettori ti è venuta contosa, c'è qualcosa che non va ... oppure che non vuoi supporre di sapere che le mediane si incontrano nel baricentro ...

Poni l'origine nel baricentro, chiama a, b, c i vettori che vanno dal baricentro ai vertici. Tu vuoi dimostrare che ||c||=||a+b||, ma questo è ovvio poichè (a+b+c)/3 è il vettore che ha come estremo libero il baricentro, ovvero, in questo caso, il vettore nullo. Quindi a+b+c=0, quindi a+b=-c, da cui la tesi.

[MindFlyer]

Che io sappia, la dimostrazione standard di esistenza del baricentro usa proprio il teorema delle mediane.

[Boll]

La mia dimostrazione era la cosa più schifosa possibile... Non supponevo che il baricentro fosse il luogo di incontro, in pratica arrivavo quasi alla fine per la via di prima, ma poi, ad un certo punto, usavo i vettori (non quelli posizione proprio i lati del triangolo come vettori). Riguardo alla dimostrazione dell'esistenza del baricentro, non è più comodo Ceva???? E per dimostrare Ceva usare il solito metodo con l'area dei triangoli.

[Marco]

Che io sappia, la dimostrazione standard di esistenza del baricentro usa proprio il teorema delle mediane.

Beh, no. Basta usare Ceva.

E comunque puoi aggiustare la dimostrazione definendo il baricentro come luogo di incontro di DUE mediane. Lo calcoli, scopri che viene A+B+C / 3 a prescindere da quali due mediane hai preso, e quindi ricavi che in verità tutte e tre si intersecano.

[MindFlyer]

Sì, beh, io parlavo della dimostrazione di Euclide. Poi possiamo anche usare il fatto che si sa che le mediane si incontrano in un punto, e concludere in scioltezza.
Comunque mi sto ancora riprendendo dall'ultima rimpatriata con i miei ex compagni del Liceo, di 2 sere fa. Quindi forse non dovete starmi a sentire. Insomma, niente di nuovo.

[elianto84]

Triangolo ABC; L,M,N punti medi di AB,BC,CA.
Vector power!

2L = A+B
2M = B+C
2N = A+C

2L + C = 2M + A = 2N + B = A+B+C

dividendo il tutto per 3 segue l'esistenza del baricentro
come punto di concorrenza delle mediane e il fatto che
"le mediane si secano a 2/3". End.